(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ. Số nghiệm thực phân biệt của phương trình \(f\left( {{e^{f\left( x \right)}} + f\left( x \right)} \right) = 1\) là:
A. \(2\).
B. \(4\).
C. \(6\).
D. \(8\).
Lời giải:
Chọn C
Dựa vào đồ thị hàm số ta có \(f\left( x \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\end{array} \right.\)
Đặt \(f\left( x \right) = t\), khi đó ta có phương trình \(f\left( {{e^{f\left( x \right)}} + f\left( x \right)} \right) = 1\) trở thành \(f\left( {{e^t} + t} \right) = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{e^t} + t = – 1\\{e^t} + t = 1\end{array} \right.\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {e^t} + t\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên ta có phương trình \({e^t} + t = 1\) có nghiệm duy nhất \(t = 0\).
Xét phương trình \({e^t} + t = – 1\), dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số \(g\left( t \right) = {e^t} + t\) và đường thẳng \(y = – 1\) ta có phương trình có nghiệm duy nhất \(t = a \in \left( { – 2\,;\, – 1} \right)\).
Dựa vào sự tương giao của đồ thị ta có:
Với \(t = 0 \Rightarrow f(x) = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm thì phương trình có 4 nghiệm.
Với \(t = a \in \left( { – 2\,;\, – 1} \right) \Rightarrow f(x) = a \in \left( { – 2\,;\, – 1} \right)\) nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm.
Trả lời