(Cụm Trường Nghệ An – 2022) Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn đẳng thức sau:

\({\log _{2022}}\left[ {{{\left( {{x^4} – 2{x^2} + 2023} \right)}^{{y^2} + 2022}}} \right] = 2y + 2021\).

A. 3.

B. 1.

C. 0.

D. 2.

Lời giải:

Chọn D

Ta có \({x^4} – 2{x^2} + 2023\)\( = {\left( {{x^2} – 1} \right)^2} + 2022 \ge 2022\) với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

\( \Rightarrow {\log _{2022}}\left( {{x^4} – 2{x^2} + 2023} \right) \ge 1\)với \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} + 2022 \ge 2022\\{y^2} + 2022 = {y^2} + 1 + 2021 \ge 2y + 2021\end{array} \right.\) với \(\forall y \in \mathbb{R}\)

\( \Rightarrow {\log _{2022}}\left[ {{{\left( {{x^4} – 2{x^2} + 2023} \right)}^{{y^2} + 2022}}} \right] = \left( {{y^2} + 2022} \right){\log _{2022}}\left( {{x^4} – 2{x^2} + 2023} \right) \ge 2y + 2021\)\(\forall x,\,y \in \mathbb{R}\).

Do đó \({\log _{2022}}\left[ {{{\left( {{x^4} – 2{x^2} + 2023} \right)}^{{y^2} + 2022}}} \right] = 2y + 2021\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} – 1 = 0\\y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\).

Có hai cặp số nguyên \(\left( {x;\,y} \right)\) thỏa mãn đề bài.