Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(|z| = 1\) và \(|5z – \overline z – 8 – 6i| = 12\)?
A.\(0\).
B. \(2\).
C. \(4\).
D. \(1\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của \(z\). Ta có
+ \(|z| = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 1\).
+\(|5z – \overline z – 8 – 6i| = 12\)\( \Leftrightarrow |5x + 5y.i – x + y.i – 8 – 6i| = 12\)\( \Leftrightarrow |4x – 8 + 6y.i – 6i| = 12\)\( \Leftrightarrow |2x – 4 + 3y.i – 3i| = 6\)\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {2x – 4} \right)}^2} + {{\left( {3y – 3} \right)}^2}} = 6\)\( \Leftrightarrow 4{\left( {x – 2} \right)^2} + 9{\left( {y – 1} \right)^2} = 36\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {y – 1} \right)}^2}}}{4} = 1\).
Do đó, ta có hệ phương trình:\(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 1\\\frac{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}{9} + \frac{{{{\left( {y – 1} \right)}^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\).
Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}x = X + 2\\y = Y + 1\end{array} \right.\), ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{(X + 2)^2} + {(Y + 1)^2} = 1\\\frac{{{X^2}}}{9} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\end{array} \right.\).
Hình vẽ biểu diễn cặp \(\left( {X;Y} \right)\) như sau:
Dựa vào hình vẽ giao điểm giữa đường tròn \({(X + 2)^2} + {(Y + 1)^2} = 1\) và đường elip \(\frac{{{X^2}}}{9} + \frac{{{Y^2}}}{4} = 1\) cắt nhau tại \(B\left( {{X_B};{Y_B}} \right)\), \(C\left( {{X_C};{Y_C}} \right)\).
Với \(B\left( {{X_B};{Y_B}} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = {X_B} + 2\\{y_B} = {Y_B} + 1\end{array} \right.\) nên \(z = {X_B} + 2 + ({Y_B} + 1).i\).
Với \(C\left( {{X_C};{Y_C}} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_C} = {X_C} + 2\\{y_C} = {Y_C} + 1\end{array} \right.\) nên \(z = {X_C} + 2 + ({Y_C} + 1).i\).
Vậy có \(2\) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trả lời