DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1 – 4i} \right| = 4\sqrt 2 \) và \({\left( {z + 3i} \right)^2}\) là số thuần ảo?
A.\(1\).
B. \(2\).
C. \(3\).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Giả sử \(z = x + yi\) \(\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Khi đó
+ \(\left| {z + 1 – 4i} \right| = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} = 32\,\,\,\,\left( 1 \right)\).
+ \({\left( {z + 3i} \right)^2} = {\left[ {x + \left( {y + 3} \right)i} \right]^2} = {x^2} – {\left( {y + 3} \right)^2} + 2x\left( {y + 3} \right)i\).
\({\left( {z + 3i} \right)^2}\) là số thuần ảo khi và chỉ khi \({x^2} – {\left( {y + 3} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y + 3\\x = – y – 3\end{array} \right.\).
Với \(x = y + 3\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình \(2{y^2} = 0 \Leftrightarrow y = 0\). Tìm được \(z = 3\).
Với \(x = – y – 3\) thay vào \(\left( 1 \right)\) ta được phương trình \(2{y^2} – 4y – 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1 + \sqrt 7 \\y = 1 – \sqrt 7 \end{array} \right.\)
Tìm được \(\left[ \begin{array}{l}z = – 4 – \sqrt 7 + \left( {1 + \sqrt 7 } \right)i\\z = – 4 + \sqrt 7 + \left( {1 – \sqrt 7 } \right)i\end{array} \right.\).
Vậy có \(3\) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trả lời