Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\overline z } \right| = 5\) và \(\left| {\overline z + 4} \right| + \left| {z – 4} \right| \le 10\)?
A.\(0\).
B. \(1\).
C. \(2\).
D. \(4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Áp dụng các tính chất \(\left| z \right| = \left| {\overline z } \right|;\overline {\overline {{z_1}} + \overline {{z_2}} } = {z_1} + {z_2}\) ta có \(\left| {\overline z + 4} \right| = \left| {\overline {\overline z + 4} } \right| = \left| {\overline {\overline z } + \overline 4 } \right| = \left| {z + 4} \right|\).
Do đó \(\left| {\overline z + 4} \right| + \left| {z – 4} \right| \le 10 \Leftrightarrow \left| {z + 4} \right| + \left| {z – 4} \right| \le 10\).
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của \(z\). Do các số phức \({z_1} = – 4\), \({z_2} = 4\) lần lượt được biểu diễn bởi \(A\left( { – 4;0} \right),\;B\left( {4;0} \right)\) nên ta có \(\left| {z + 4} \right| + \left| {z – 4} \right| \le 10 \Leftrightarrow MA + MB \le 10\).
Suy ra \(M\) thuộc hình \(\left( H \right)\) được bao bởi đường elip \(\left( E \right)\) có hai tiêu điểm là \(A,\;B\) và có độ dài trục lớn là 10. \(\left( E \right)\) có phương trình là \(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
Mặt khác, do \(\left| {\overline z } \right| = 5\) nên \(M\) thuộc là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\) và bán kính \(R = 5\).
Từ đây có \(M\) là giao của hình \(\left( H \right)\) và \(\left( C \right)\).
Nhận thấy hình \(\left( H \right)\) và \(\left( C \right)\) có \(2\) giao điểm.
Vậy có \(2\) số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Trả lời