Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z + i\sqrt 5 } \right| + \left| {z – i\sqrt 5 } \right| = 6\), biết \(z\) có môđun bằng \(\sqrt 5 \)?
A. \(3\).
B. \(4\).
C. \(2\).
D. \(0\).
Lời giải:
Gọi \(z = a + bi\) với \(a \in \mathbb{R}\), \(b \in \mathbb{R}\). Ta có hệ phương trình sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z + i\sqrt 5 } \right| + \left| {z – i\sqrt 5 } \right| = 6\\\left| z \right| = \sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {a + \left( {b + \sqrt 5 } \right)i} \right| + \left| {a + \left( {b – \sqrt 5 } \right)i} \right| = 6\\\left| {a + bi} \right| = \sqrt 5 \end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{\left( {b + \sqrt 5 } \right)}^2}} + \sqrt {{a^2} + {{\left( {b – \sqrt 5 } \right)}^2}} = 6\\\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt 5 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {b^2} + 2\sqrt 5 b + 5} + \sqrt {{a^2} + {b^2} – 2\sqrt 5 b + 5} = 6\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {10 + 2\sqrt 5 b} + \sqrt {10 – 2\sqrt 5 b} = 6\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right.\) ,
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}20 + 2\sqrt {100 – 20{b^2}} = 36\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt {100 – 20{b^2}} = 8\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}100 – 20{b^2} = 64\\{a^2} + {b^2} = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = \frac{{16}}{5}\\{b^2} = \frac{9}{5}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}a = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\\a = – \frac{4}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}b = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\\b = – \frac{3}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\\b = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{4}{{\sqrt 5 }}\\b = – \frac{3}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{4}{{\sqrt 5 }}\\b = \frac{3}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}a = – \frac{4}{{\sqrt 5 }}\\b = – \frac{3}{{\sqrt 5 }}\end{array} \right.\).
Kết hợp với điều kiện ta có bốn số phức cần tìm là: \(z = \frac{4}{{\sqrt 5 }} + \frac{3}{{\sqrt 5 }}i\), \(z = \frac{4}{{\sqrt 5 }} – \frac{3}{{\sqrt 5 }}i\), \(z = – \frac{4}{{\sqrt 5 }} + \frac{3}{{\sqrt 5 }}i\), \(z = – \frac{4}{{\sqrt 5 }} – \frac{3}{{\sqrt 5 }}i\).
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.
Trả lời