Cho các số thực \(b\,,\,c\) sao cho phương trình \({z^2} + bz + c = 0\) có hai nghiệm phức \({z_1}\), \({z_2}\,\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 6 – 8i\,} \right| = 2\sqrt {10} \) và \(\left( {{z_1}\, + 2i} \right)\left( {{z_2}\, – 6} \right)\) là số thuần ảo. Tổng hai nghiệm của hai nghiệm \({z_1}\), \({z_2}\,\) bằng
A. \( – 20\).
B. \(20\).
C. \(8\).
D. \( – 8\).
Lời giải:
Trường hợp 1: Nếu các nghiệm của phương trình là các số thực thì
\(\left| {{z_1} – 6 – 8i\,} \right| = \left| {\left( {{z_1} – 6} \right) + \left( { – 8} \right)i\,} \right| = \sqrt {{{\left( {{z_1} – 6} \right)}^2} + 64\,} > 2\sqrt {10} \) mâu thuẫn với giả thiết.
Trường hợp 2: Các nghiệm phức của phương trình không là các số thực, khi đó với
\({z_1} = x + yi\,\, \Rightarrow \,\,{z_2} = \overline {{z_1}} = x – yi\).
Khi đó ta có \(\left| {{z_1} – 6 – 8i\,} \right| = 2\sqrt {10} \Leftrightarrow {\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y – 8} \right)^2} = 40\) và\(\left( {{z_1}\, + 2i} \right)\left( {{z_2}\, – 6} \right) = \left[ {x + \left( {y + 2} \right)i} \right].\left[ {\left( {x – 6} \right) – yi} \right] = x.\left( {x – 6} \right) + y.\left( {y + 2} \right) + \left[ {\left( {x – 6} \right).\left( {y + 2} \right) – xy} \right].i\) là một số thuần ảo khi và chỉ khi phần thực bằng \(0\) tức
\(x.\left( {x – 6} \right) + y.\left( {y + 2} \right) = 0\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^2} + {y^2} – 6x + 2y = 0\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\).
Giải hệ gồm \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x – 6} \right)^2} + {\left( {y – 8} \right)^2} = 40\\{x^2} + {y^2} – 6x + 2y = 0\,\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 2\,\end{array} \right.\)
\(\, \Rightarrow \,\,{z_1} = 4 + 2i,{\rm{ }}{z_2} = 4 – 2i\). Vậy \({z_1} + \,{z_2} = 8\)
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.
Trả lời