Cho số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2} + 4} \right| = 2\left| z \right|.\) Kí hiệu M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(\left| z \right|\). Tìm môđun của số phức\(\omega = M + mi\).
A. \(\left| \omega \right| = 2\sqrt 3 \)
B. \(\left| \omega \right| = \sqrt 3 \)
C. \(\left| \omega \right| = 2\sqrt 5 \)
D. \(\left| \omega \right| = \sqrt 5 \)
Lời giải::
Sử dụng bất đẳng thức về môđun số phức \(\left| {{z_1} – {z_2}} \right| \ge \left| {\left| {{z_1}} \right| – \left| {{z_2}} \right|} \right|\), dấu “=” khi \({z_1} = k{z_2}\)với \(k \ge 0\). Ta có \(\left| {{z^2} + 4} \right| \ge \left| {\left| {{z^2}} \right| – 4} \right| \to 2\left| z \right| \ge \left| {\left| {{z^2}} \right| – 4} \right|\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\left| z \right| \ge \left| {{z^2}} \right| – 4 \Leftrightarrow \left| {{z^2}} \right| – 2\left| z \right| – 4 \le 0 \Rightarrow \left| z \right| \le 1 + \sqrt 5 = M\\2\left| z \right| \ge 4 – \left| {{z^2}} \right| \Leftrightarrow \left| {{z^2}} \right| + 2\left| z \right| – 4 \le 0 \Rightarrow \left| z \right| \ge – 1 + \sqrt 5 = m\end{array} \right.\)
Vậy \(\left| \omega \right| = \sqrt {{M^2} + {m^2}} = 2\sqrt 3 \).
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.
Trả lời