Trên tập số phức, cho phương trình $z^{2}-10 z+|m-1|=0,(m \in \mathbb{R})$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in[-10 ; 90]$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phức phân biệt $z_{1}, z_{2}$ thỏa mãn $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|$ là một số nguyên dương?
A. 42.
B. 40 .
C. 36 .
D. 38 .
Lời giải.
Ta có $\Delta^{\prime}=25-|m-1|$
- Nếu $25-|m-1|>0 \Leftrightarrow-24<m<26$, phương trình có hai nghiệm thực $z_{1}, z_{2}$.
Do $z_{1}+z_{2}=10 ; z_{1} \cdot z_{2}=|m-1|>0$
$\Rightarrow z_{1}>0, z_{2}>0$. Hay $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=z_{1}+z_{2}=10$.
Kết hợp với điều kiện $m \in[-10 ; 90]$, vậy có 36 giá trị nguyên của $m$ thỏa.
- Nếu $25-|m-1|<0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m>26 \ m<-24\end{array}\right.$. Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức $z_{1}, z_{2}$ thỏa $\left|z_{1}\right|=\left|z_{2}\right|=\sqrt{|m-1|}$
Ta có $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|=2 \sqrt{|m-1|}$ là một số nguyên khi và chỉ khi $|m-1|$ là sô chính phương. Kết hợp với điều kiện ta có $m \in{37 ; 50 ; 65 ; 82}$
Vậy có tất cả 40 giá trị của $m$ thỏa mãn.
Trả lời