Cho hai số phức \(z\,,\,w\) thoả \(\left| z \right| = 1;\left| w \right| = 4\) và \(z.\overline w + w.\overline z + 8 = 0\). Gọi \(M\,,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {\frac{{z – i}}{{w + 3i}}} \right|\). Khi đó \(m – 7M\) bằng
A. \( – 1\).
B. \(1\).
C. \(2\).
D. \( – 2\).
Lời giải:
Gọi \(z = {x_1} + {y_1}i\,,\,w = {x_2} + {y_2}i\,\,\left( {{x_1}\,;{x_2};{y_1};\,{y_2} \in \mathbb{R}} \right)\) và \(A,B\) lần lượt biểu diễn \(z\) và \(w\).
Ta có \(\left| z \right| = OA = 1;\left| w \right| = OB = 4\)
Lúc đó \(z.\overline w + w.\overline z + 8 = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1} + {y_1}i} \right)\left( {{x_2} – {y_2}i} \right) + \left( {{x_1} – {y_1}i} \right)\left( {{x_2} + {y_2}i} \right) = – 8\)
\( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = – 4 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = – 4 \Leftrightarrow OA.OB.\cos \left( {\widehat {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }} \right) = – 4\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\widehat {\overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} }} \right) = – 1 \Rightarrow \widehat {AOB} = {180^0}\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} \) ngược hướng nhau và \(\overrightarrow {OB} = – 4.\overrightarrow {OA} \)
Lúc này ta đặt lại \(A\left( {x\,;\,y} \right)\,,\,B\left( { – 4x\,;\, – 4y} \right)\) lần lượt là 2 điểm biểu diễn \(z\,,\,w\)
Ta có \(\left| z \right| = 1 \Rightarrow \)\({x^2} + {y^2} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 – {y^2} \ge 0 \Leftrightarrow – 1 \le y \le 1\)
Lúc đó \(P = \left| {\frac{{z – i}}{{w + 3i}}} \right| = \left| {\frac{{x + \left( {y – 1} \right)i}}{{ – 4x – \left( {4y – 3} \right)i}}} \right| = \sqrt {\frac{{{x^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}{{16{x^2} + {{\left( {4y – 3} \right)}^2}}}} \)\( = \sqrt {\frac{{1 – {y^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}}}{{16\left( {1 – {y^2}} \right) + {{\left( {4y – 3} \right)}^2}}}} = \sqrt {\frac{{2y – 2}}{{24y – 25}}} = f\left( y \right)\)
Xét hàm số \(f\left( y \right) = \sqrt {\frac{{2y – 2}}{{24y – 25}}} ,y \in \left[ { – 1;1} \right] \Rightarrow f’\left( y \right) = \frac{{\frac{{ – 2}}{{{{\left( {24y – 25} \right)}^2}}}}}{{2.\sqrt {\frac{{2y – 2}}{{24y – 25}}} }} < 0,\forall y \in \left( { – 1;1} \right)\)
Ta có \(M = {P_{\max }} = f\left( { – 1} \right) = \frac{2}{7}\) và \(m = {P_{\min }} = f\left( 1 \right) = 0\)
Vậy \(m – 7M = – 2\).
===========
Đây là các câu ÔN THI TN THPT MÔN TOÁN 2023 – CHUYÊN ĐỀ Trắc nghiệm Số phức.
Trả lời