Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\)sao cho ứng với mỗi \(y\) có không quá \(10\) số nguyên \(x\)thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 1}} – \sqrt 3 } \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\)?

Câu hỏi:
Có bao nhiêu số nguyên dương \(y\)sao cho ứng với mỗi \(y\) có không quá \(10\) số nguyên \(x\)thỏa mãn \(\left( {{3^{x + 1}} – \sqrt 3 } \right)\left( {{3^x} – y} \right) < 0\)?

A. \(59049\).

B. \(59050\).

C. \(59149\).

D. \(59048\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

ChọnA.

Đặt \(t = {3^x} > 0\)

Ta có BPT: \((3t – \sqrt 3 )(t – y) < 0\) hay \((t – \frac{{\sqrt 3 }}{3})(t – y) < 0{\rm{ }}(*).\)

Vì \(y \in {\mathbb{Z}^ + }\) nên \(y > \frac{{\sqrt 3 }}{3}\), do đó \((*) \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} < t < y \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{3} < {3^x} < y\)Do \(y \in {\mathbb{N}^*}\)

\( \Leftrightarrow – \frac{1}{2} < x < {\log _3}y.\)

Do mỗi giá trị \(y \in {\mathbb{N}^*}\)có không quá \(10\)giá trị nguyên của \(x \in \left( { – \frac{1}{2};{{\log }_3}y} \right)\)

nên \(0 \le {\log _3}y \le 10\) hay \( \Leftrightarrow 1 \le y \le {3^{10}} = 59049\), từ đó có \(y \in \{ 1,2, \ldots ,59049\} .\)

Vậy có \(59049\)giá trị nguyên dương của \(y\).

=======