(Chuyên Vinh – 2022) Số nghiệm nguyên của bất phương trình \(\sqrt {2{{\log }_2}(x + 2)} – \sqrt {{{\log }_2}\left( {2{x^2} – 1} \right)} \ge (x + 1)(x – 5)\) là

A. 5.

B. \(6.\)

C. 7.

D. 4.

Lời giải:

Chọn B

Nhận xét \(x = – 1\) là nghiệm của bất phương trình.

Với \(x \ge 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {2{{\log }_2}(x + 2)} – \sqrt {{{\log }_2}\left( {2{x^2} – 1} \right)} \ge (x + 1)(x – 5)\\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\log }_2}\left( {{x^2} + 4x + 4} \right)} – \sqrt {{{\log }_2}\left( {2{x^2} – 1} \right)} \ge {x^2} – 4x – 5(2)\end{array}\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2{x^2} – 1}\\{b = {x^2} + 4x + 4}\end{array}(a \ge 1;b \ge 1).} \right.\)

(2) \( \Leftrightarrow b + \sqrt {{{\log }_2}b} \ge a + \sqrt {{{\log }_2}a} (3)\).

Xét hàm số \(f(t) = t + \sqrt {{{\log }_2}t} \) với \(t \ge 1\).

\(f\prime (t) = 1 + \frac{1}{{2t\sqrt {{{\log }_2}t} \ln 2}} > 0,\forall t > 1\)

Hàm số \(f(t)\) đồng biến trên khoảng \((1; + \infty )\) nên từ \((3)\) ta có:

\(b \ge a \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 \ge 2{x^2} – 1 \Leftrightarrow – {x^2} + 4x + 5 \ge 0 \Leftrightarrow – 1 \le x \le 5\)\(\)

Mà \(x \ge 1 \Rightarrow 1 \le x \le 5\).

Vậy có 6 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn.