(Chuyên Vinh 2022) Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {4^x} + (a – 2){2^x} + 2\) trên đoạn \([ – 1;1]\). Tất cả giá trị của \(a\) để \(m \ge 1\) là

A. \(a \ge 1\).

B. \( – \frac{1}{2} \le a \le 0\).

C. \(a \le – \frac{1}{2}\).

D. \(a \ge 0\).

Lời giải:

Chọn D

Đặt \(t = {2^x},t \in \left[ {\frac{1}{2};2} \right],f(x)\) trở thành \(g(t) = {t^2} + (a – 2)t + 2\)

Hàm số \(g(t)\) liên tục trên \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\).

\(g\prime (t) = 2t + a – 2 \cdot g\prime (t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{2 – a}}{2}\)\(\)

Trường họp 1: \(\frac{1}{2} \le \frac{{2 – a}}{2} \le 2 \Leftrightarrow – 2 \le a \le 1\)

Suy ra \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {\frac{1}{2};2} \right]} g(t) = g\left( {\frac{{2 – a}}{2}} \right) = \frac{{8 – {{(a – 2)}^2}}}{4}\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \frac{{8 – {{(a – 2)}^2}}}{4} \ge 1 \Leftrightarrow 0 \le a \le 4\)

Vậy \(0 \le a \le 1\) (1)

Trường họp 2: \(\frac{{2 – a}}{2} < \frac{1}{2} \Leftrightarrow a > 1\)

Suy ra: \(\min g(t) = g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}a + \frac{5}{4}\) \(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \frac{1}{2}a + \frac{5}{4} \ge 1 \Leftrightarrow a \ge – \frac{1}{2}\)

Vậy \(a > 1\).

Trường họp 3: \(\frac{{2 – a}}{2} > 2 \Leftrightarrow a < – 2\)

Suy ra: \(\min g(t) = g(2) = 2a + 2\)

\(\left[ {\frac{1}{2};2} \right]\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow 2a + 2 \ge 1 \Leftrightarrow a \ge – \frac{1}{2}\)

Vậy không tồn tại \(a\).

Kết hợp 3 trường hợp, ta có \(a \ge 0\).