(Chuyên Vinh – 2022) Có bao nhiêu giá trị nguyên lớn hơn 2 của \(y\) sao cho với mỗi \(y\) tồn tại đúng 3 sô nguyên dương \(x\) thỏa mãn \({3^x} – y \le 2{\log _2}\left( {{3^x} – 2} \right)?\).

A. 16.

B. 51.

C. 68.

D. 66.

Lời giải:

Chọn B

\({3^x} – y \le 2{\log _2}\left( {{3^x} – 2} \right)\) điều kiện: \({3^x} – 2 > 0 \Leftrightarrow x > {\log _3}2\).

\( \Leftrightarrow y \ge {3^x} – 2{\log _2}\left( {{3^x} – 2} \right)\).

Xét hàm số \(f(x) = {3^x} – 2{\log _2}\left( {{3^x} – 2} \right)\)

\( \Rightarrow f\prime (x) = {3^x}\ln 3 – \frac{{{{2.3}^x}\ln 3}}{{\left( {{3^x} – 2} \right)\ln 2}} = {3^x}\ln 3\left( {1 – \frac{2}{{\left( {{3^x} – 2} \right)\ln 2}}} \right) = {3^x}\ln 3\left( {\frac{{\left( {{3^x} – 2} \right)\ln 2 – 2}}{{\left( {{3^x} – 2} \right)\ln 2}}} \right)\)

\( \Rightarrow f\prime (x) = 0 \Leftrightarrow {3^x} – 2 = \frac{2}{{\ln 2}} \Leftrightarrow x = {\log _3}\left( {\frac{2}{{\ln 2}} + 2} \right) = a\)

Bảng biến thiên:

Ycbt \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{f(3) \le y}\\{f(4) > y}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{27 – 2{{\log }_2}25 \le y}\\{81 – 2{{\log }_2}79 > y}\end{array} \Leftrightarrow 17,71 \le y < 68,3} \right.} \right.\)

Vì \(y > 2\) là số nguyên nên \(18 \le y \le 68 \Rightarrow \) có 51 số.