Câu hỏi:
(Chuyên Vinh – 2022) Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm là \(f\prime (x) = \left( {{x^2} + 9x} \right)\left( {{x^2} – 9} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = g(x) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m – {m^2}} \right)\) có không quá 6 điểm cực trị ?
A. 2.
B. 5.
C. 4.
D. 7.
Lời giải:
Chọn B
Do \(g( – x) = f\left( {\left| { – {x^3} – 3x} \right| + 2m – {m^2}} \right) = f\left( {\left| {{x^3} + 3x} \right| + 2m – {m^2}} \right) = g(x)\) nên hàm số này là hàm số chẵn tức để hàm số \(g(x)\) có không quá 6 điểm cực trị (cụ thể là tối đa 5 cực trị) thì hàm \(h(x) = f\left( {{x^3} + 3x + 2m – {m^2}} \right)\) có tối đa 2 điểm cực trị dương.
Tức phương trình \(h\prime (x) = \left( {3{x^2} + 3} \right)f\prime \left( {{x^3} + 3x + 2m – {m^2}} \right) = 0\) có tối đa 2 nghiệm bội lẻ dương. \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 3x + 2m – {m^2} = 0}\\{{x^3} + 3x + 2m – {m^2} = – 9}\\{{x^3} + 3x + 2m – {m^2} = – 3}\\{{x^3} + 3x + 2m – {m^2} = 3}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 3x = {m^2} – 2m = {y_3}}\\{{x^3} + 3x = {m^2} – 2m – 9 = – {y_1}}\\{{x^3} + 3x = {m^2} – 2m – 3 = {y_2}}\\{{x^3} + 3x = {m^2} – 2m + 3 = {y_4}}\end{array}} \right.} \right.\left( * \right)\)
Như vậy để thỏa mãn đề bài thì bốn đường thẳng lần lượt là \({y_1},{y_2},{y_3},{y_4}\) phải cắt đồ thị \(y = {x^3} + 3x\) tại tối đa hai nghiệm dương. Xét hàm số \(y = {x^3} + 3x\) có \(y\prime = 3{x^2} + 3 > 0,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(y(0) = 0\).
Nhận thấy \({m^2} – 2m + 3 = {(m – 1)^2} + 2 > 0\) luôn đúng nên hệ \(\left( * \right)\) có tối thiểu 1 nghiệm, từ đó ta có:
Trường hợp 1: \({m^2} – 2m \le 0 \Leftrightarrow m \in [0;2]\) thì hệ \(\left( * \right)\) có 1 nghiệm tức hàm số luôn có 3 điểm cực trị
Trường hợp 2: \({m^2} – 2m > 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 0}\\{m > 2}\end{array}} \right.\) thì hệ \(\left( * \right)\) đang có 2 nghiệm dương. Do hàm số có tối đa 5 điểm cực trị nên chỉ có tối đa 2 nghiệm dương tức ta có điều kiện đủ là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} – 2m – 9 \le 0}\\{{m^2} – 2m – 3 \le 0}\end{array} \Leftrightarrow m \in [ – 1;3]} \right.\)
So với điều kiện ta suy ra \(m \in \{ – 1;3\} \).
Từ hai trường hợp ta suy ra \(m \in \{ – 1;0;1;2;3\} \) tức có 5 giá trị nguyên \(m\) thỏa.
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm VDC Hàm số
Trả lời