(Chuyên Vinh -2022) Cho hàm số bậc ba \(y = f(x)\). Biết rằng hàm số \(y = f\prime \left( {1 – {x^2}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên.
Số điểm cực trị của hàm số \(g(x) = f\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} \right) + \frac{2}{x}\) là
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 7.
Lời giải:
Ta có
\(\begin{array}{l}{g^\prime }(x) = \frac{2}{{{x^3}}} \cdot {f^\prime }\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} \right) – \frac{2}{{{x^2}}} = \frac{2}{{{x^2}}}\left[ {\frac{1}{x} \cdot {f^\prime }\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} \right) – 1} \right]\\ \Rightarrow {g^\prime }(x) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{x} \cdot {f^\prime }\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} \right) – 1 = 0 \Rightarrow {f^\prime }\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} \right) = x \Leftrightarrow {f^\prime }\left( {1 – \frac{1}{{{x^2}}}} \right) = x\end{array}\)
Đặt ta được \(f\prime \left( {1 – {t^2}} \right) = \frac{1}{t}\).
Xét hàm số \(h(t) = \frac{1}{t}(t \ne 0) \Rightarrow h\prime (t) = – \frac{1}{{{t^2}}} < 0,\forall t \ne 0\)
Vẽ đồ thị hàm \(h(t) = \frac{1}{t}\) trên cùng hệ trục toạ độ với hàm số \(y = f\prime \left( {1 – {t^2}} \right)\)
Từ đồ thị suy ra \(g’\left( x \right) = 0\) có 5 nghiệm đơn.
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}} \right) + \frac{2}{x}\) có 5 điểm cực trị
Trả lời