(Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương – 2022) Cho các số thực \(a,b,c,d\) thỏa mãn điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}\left( {{a^2} + {b^2} + 5} \right) = 1 + {{\log }_2}(2 – 2a – b)}\\{{e^{4c + 5d – 10}} – {e^{c + d + 2}} = 12 – 3c – 4d}\end{array}} \right.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \sqrt {{{(a – c)}^2} + {{(b – d)}^2}} \)

A. \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\)

B. 2.

C. \(2\sqrt 5 – 2\).

D. \(\frac{{12}}{5}\).

Lời giải:

Điều kiện: \(2 – 2a – b > 0 \Leftrightarrow 2a + b – 2 < 0\) (1).

Ta có: \({\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + 5} \right) = 1 + {\log _2}(2 – 2a – b) \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + 5} \right) = {\log _2}2 + {\log _2}(2 – 2a – b)\) \( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + 5} \right) = {\log _2}(4 – 4a – 2b) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 5 = 4 – 4a – 2b\)

\( \Leftrightarrow {(a + 2)^2} + {(b + 1)^2} = 4.{\rm{ }}\)\(\)

Mặt khác \({a^2} + {b^2} + 5 = 4 – 4a – 2b \Leftrightarrow 2a + b – 2 = \frac{{ – {a^2} – {b^2} – 5}}{2} < 0\). Do đó điều kiện (1) luôn thỏa mãn.

Lại có: \({e^{4c + 5d – 10}} – {e^{c + d + 2}} = 12 – 3c – 4d \Leftrightarrow {e^{4c + 5d – 10}} + 4c + 5d – 10 = {e^{c + d + 2}} + c + d + 2(*)\)

Do hàm \(f(t) = {e^t}\) luôn đồng biến trên R. Suy ra \((*) \Leftrightarrow 4c + 5d – 10 = c + d + 2 \Leftrightarrow 3c + 4d = 12\).

Đặt \(A(a;b);B(c;d) \Rightarrow P = AB\).

\(A\) di động trên đường tròn \((C)\) có phương trình: \({(x + 2)^2} + {(y + 1)^2} = 4\), tâm \(I( – 2; – 1);R = 2\).

\(B\) di động trên đường thẳng \(d:3x + 4y – 12 = 0\).

Có \(d(I,d) = \frac{{| – 2.3 – 1.4 – 12|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{22}}{5} > 2 \Rightarrow {P_{\min }} = A{B_{\min }} = d(I,d) – R = \frac{{22}}{5} – 2 = \frac{{12}}{5}\).