(Chuyên Lương Văn Tụy-Ninh Bình 2022) Cho phương trình \(\left( {2\log _3^2x – {{\log }_3}x – 1} \right)\sqrt {{5^x} – m} = 0\) ( \(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của \(m\) để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 125.

B. 123.

C. 122.

D. 124.

Lời giải:

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{{5^x} – m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{m \le {5^x}}\end{array}} \right.} \right.\).

\(\left( {2\log _3^2x – {{\log }_3}x – 1} \right)\sqrt {{5^x} – m} = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{5^x} – m \ge 0,x > 0\\\left[ \begin{array}{l}{5^x} – m = 0\\2\log _3^2x – {\log _3}x – 1 = 0\end{array} \right.\end{array}\end{array}} \right.\)\(\)

\(\left\{ \begin{array}{l}{5^x} – m \ge 0,x > 0\\\left[ \begin{array}{l}{5^x} – m = 0\\{\log _3}x = \frac{{ – 1}}{2}\\{\log _3}x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{5^x} – m \ge 0,x > 0\\\left[ \begin{array}{l}{5^x} – m = 0\\{\log _3}x = \frac{{ – 1}}{2}\\{\log _3}x = 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( + \) Khi \(m = 1 \Rightarrow x = {\log _2}1 = 0\) vậy phương trình \(\left( {2\log _3^2x – {{\log }_3}x – 1} \right)\sqrt {{5^x} – m} = 0\) có 2 nghiệm \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {3^{\frac{1}{{\sqrt 2 }}}}}\\{x = 3}\end{array}} \right.\)

\( + m > 1 \Rightarrow x = {\log _5}m\) là 1 nghiệm. Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì \(\frac{1}{{\sqrt 3 }} \le {\log _5}m < 3 \Leftrightarrow {5^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} \le m < {5^3} \Leftrightarrow 2,53 \le m < 125\)