(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho hàm số \(f(x) = {x^4} – 2{x^3} + (m – 1){x^2} + 2x – m + 2022\), với \(m\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) thuộc đoạn \([ – 2021;2022]\) để hàm số \(y = |f(x – 2021) – 2022|\) có số điểm cực trị nhiều nhất?

A. 2021.

B. 2022.

C. 4040.

D. 2023.

Lời giải:

Hàm số \(y = |f(x – 2021) – 2022|\) có số điểm cực trị nhiều nhất là 7 khi và chỉ khi phương trình \(f(x – 2021) = 2022\) có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình \(f(x) = 2022\) có 4 nghiệm phân biệt

Ta có \(f(x) = 2022 \Leftrightarrow {x^4} – 2{x^3} + (m – 1){x^2} + 2x – m = 0\)

\( \Leftrightarrow (x + 1)(x – 1)\left[ {{x^2} – 2x + m} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = – 1\\x = 1\\{x^2} – 2x + m = 0(*)\end{array}\end{array}} \right.\)\(\)

Suy ra \(f(x) = 2022\) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left( {^*} \right)\) có 2 nghiệm phân biệt khác \( – 1\) và 1 tức là

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 – m > 0}\\{{1^2} – 2 + m \ne 0}\\{{1^2} + 2 + m \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < 1}\\{m \ne – 3}\end{array}} \right.} \right.\) do \(m\) nguyên thuộc \([ – 2021;2022]\) nên có 2021 giá trị thỏa mãn.