(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho hàm số bậc bốn \(y = f(x)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in [ – 2021;2021]\) để phương trình \({\left( {{f^2}(x) + {x^2}} \right)^2} – \left( {{m^2} + 2m + 14} \right)\left( {{f^2}(x) + {x^2}} \right) + 4{(m + 1)^2} + 36 = 0\) có đúng 6 nghiệm phân biệt.
A. 2022.
B. 4043.
C. 4042.
D. 2021.
Lời giải:
Đặt \(t = {f^2}(x) + {x^2},(t \ge 0)\) ta có phương trình
\({t^2} – \left( {{m^2} + 2m + 14} \right)t + 4{(m + 1)^2} + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}t = 4\\t = {m^2} + 2m + 10\end{array}\end{array}} \right.\)\(\)
+ Với \(t = 4\) hay \({f^2}(x) + {x^2} = 4 \Leftrightarrow {f^2}(x) = 4 – {x^2} \Rightarrow f(x) = \sqrt {4 – {x^2}} \) (Do \(\left. {f(x) \ge 0} \right)\).
Số nghiệm của phương trình \(f(x) = \sqrt {4 – {x^2}} \) là số giao điểm của đường cong \(y = f(x)\) và nửa đường tròn \(C(O;2)\)
Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
\(\begin{array}{l}t = {m^2} + 2m + 10{\rm{ hay }}{f^2}(x) + {x^2} = {m^2} + 2m + 10 \Leftrightarrow {f^2}(x) = {m^2} + 2m + 10 – {x^2}\\ \Rightarrow f(x) = \sqrt {{m^2} + 2m + 10 – {x^2}} {\rm{ (Do }}f(x) \ge 0).\end{array}\)
Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường cong \(y = f(x)\) và nửa đường tròn
\(C\left( {O;\sqrt {{m^2} + 2m + 10} } \right)\)
\(\)
\({\left( {{f^2}(x) + {x^2}} \right)^2} – \left( {{m^2} + 2m + 14} \right)\left( {{f^2}(x) + {x^2}} \right) + 4{(m + 1)^2} + 36 = 0\) chỉ có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình \(f(x) = \sqrt {{m^2} + 2m + 10 – {x^2}} \) chỉ có 2 nghiệm phân biệt.Dựa vào đồ thị ta có điều kiện \({m^2} + 2m + 10 > 9 \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m \ne – 1\). Vậy có 4042 giá trị của \(m \in \left[ { – 2021;2021} \right]\).
Trả lời