(Chuyên Lam Sơn 2022) Cho \(a,b\) là các số thực thay đổi thỏa mãn \({\log _{{a^2} + {b^2} + 20}}(6a – 8b – 4) = 1\) và \(c,d\) là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \(\sqrt {{c^2} + c + {{\log }_2}\frac{c}{d} – 7} = \sqrt {2\left( {2{d^2} + d – 3} \right)} \). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt {{{(a – c + 1)}^2} + {{(b – d)}^2}} \) là

A. \(4\sqrt 2 – 1\).

B. \(\sqrt {29} – 1\).

C. \(\frac{{12\sqrt 5 – 5}}{5}\).

D. \(\frac{{8\sqrt 5 – 5}}{5}\).

Lời giải:

Ta có: \({\log _{{a^2} + {b^2} + 20}}(6a – 8b – 4) = 1 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + 20 = 6a – 8b – 4 \Leftrightarrow {(a – 3)^2} + {(b + 4)^2} = 1(1)\)

Lại có:

\(\sqrt {{c^2} + c + {{\log }_2}\frac{c}{d} – 7} = \sqrt {2\left( {2{d^2} + d – 3} \right)} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{c^2} + c + {\log _2}\frac{c}{d} – 7 = 2\left( {2{d^2} + d – 3} \right)\\2{d^2} + d – 3 \ge 0;d,c > 0(gt)\end{array}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{c^2} + c + lo{g_2}c = {(2d)^2} + 2d + log{ _2}2d\\d \ge 1;c > 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}c – 1 = 2d – 1\\d \ge 1;c \ge 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( 2 \right)\)\(\)

Đặt \(M(a;b)\) và \(N(c – 1;d)\). Theo \((1)\) ta được \(M\) thuộc đường tròn tâm \(I(3; – 4)\) bán kính \(R = 1\); theo \((2)\) ta được \(N\) thuộc nửa đường thẳng \(y = 2x – 1\) ứng với \(x \ge 1\).

Khi đó \(MN = \sqrt {{{(a – c + 1)}^2} + {{(b – d)}^2}} \).

Vậy \(M{N_{\min }} = {N_1}I – R = \sqrt {29} – 1\).