Câu hỏi:
(Chuyên Hoàng Văn Thụ – Hòa Bình – 2022) Trên tập hợp số phức, xét phương trình \({z^2} – \sqrt {m + 1} z – \frac{1}{4}\left( {{m^2} – 5m – 6} \right) = 0(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu số nguyên \(m \in [ – 10;10]\) đề phương trình trên có hai nghiệm phức \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1} – {z_2}} \right|?\)
A. \(11.\)
B. \(10.\)
C. \(8.\)
D. 9.
Lời giải:
Điều kiện \(m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge – 1.\Delta = {m^2} – 4m – 5\)
\( + \) Trường hợp \(1:\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4m – 5 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \ge 5}\\{m \le – 1}\end{array}} \right.\) phương trình có 2 nghiệm thực \({z_1},{z_2}\)
Theo định lý Viet \({z_1} \cdot {z_2} = – \frac{1}{4}\left( {{m^2} – 5m – 6} \right)\).
\(\begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1} – {z_2}} \right| \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} \le {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow 4{z_1} \cdot {z_2} \le 0\\ – \left( {{m^2} – 5m – 6} \right) \le 0 \Leftrightarrow {m^2} – 5m – 6 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \ge 6\\m \le – 1\end{array}\end{array}} \right.\end{array}\)\(\)
Do \(m \in \mathbb{Z}\) và \(m \in [ – 10;10]\) nên số giá trị \(m\) thỏa mãn là \((10 – 6) + 1 + 1 = 6\).
\( + \) Trường hợp \(2:\Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} – 4m – 5 < 0 \Leftrightarrow – 1 < m < 5\).
phương trình có 2 nghiệm phức \({z_1},{z_2}\)
\(\begin{array}{l}\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le \left| {{z_1} – {z_2}} \right| \Leftrightarrow {\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} \le {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} \Leftrightarrow m + 1 \le \left| {{m^2} – 4m – 5} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{m^2} – 5m – 6 \ge 0\\{m^2} – 3m – 4 \le 0\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}m \ge 6\\m \le – 1\\ – 1 \le m \le 4\end{array}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)\(\)
Do \(m \in \mathbb{Z}, – 1 < m < 5\) và \(m \in [ – 10;10]\) nên số giá trị \(m\) thỏa mãn là \(m = 0,m = 1,m = 2,m = 3\). Vậy có 10 giá trị của \(m\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời