(Chuyên Hạ Long 2022) Cho các số thực \(x,y\) thoả mãn \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\max \{ 5;9x + 7y – 20\} \le {x^2} + {y^2} \le 2x + 8}\\{y \le 1}\end{array}} \right.\).Gọi \(M,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = x – 2y\). Tính \(M – m\)

A. \(1 + 3\sqrt 5 \).

B. \(2\sqrt 2 \).

C. \(1 + 2\sqrt 2 \).

D. \(2 + 3\sqrt 5 \).

Lời giải:

Từ giả thiết ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} \ge 5}\\{{{(x – 1)}^2} + {y^2} \le 9}\\{{{\left( {x – \frac{9}{2}} \right)}^2} + {{\left( {y – \frac{7}{2}} \right)}^2} \ge \frac{{25}}{2}}\end{array}} \right.\).

Tập hợp điểm \((x,y)\) thoả mãn yêu cầu bài là phần được tô trên hình vẽ kể cả biên. Ta thấy \(\left( {{C_1}} \right)\) cắt \(\left( {{C_3}} \right)\) tại hai điểm phân biệt trong đó có điểm \((2,1)\) thoả mãn yêu cầu bài toán.

Xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua \((x,y)\) thoả mãn yêu cầu bài toán: \(x – 2y = c\).

\(x – 2y\) đạt GTNN khi \(\Delta \) đi qua \((2,1)\) nên \(m = 0\).

\(\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} = 2x + 8 \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {y^2} = 9\).

\( + x – 2y = (x – 1) + ( – 2)y + 1 \le \sqrt {\left( {1 + {{( – 2)}^2}} \right) \cdot 9} + 1 = 3\sqrt 5 + 1\).

\({\Delta _1}:x – 2y – 1 – 3\sqrt 5 = 0.{\Delta _1}\) cắt \(\left( {{C_2}} \right)\) tại điểm thoả mãn bài toán.

Khi đó \(M = 3\sqrt 5 + 1\).

Vậy \(M – m = 3\sqrt 5 + 1\).