(Chuyên Hạ Long 2022) Cho \(0 < m \ne 1\). Gọi \((a;b)\) là tập hợp các giá trị của \(m\) để bất phương trình \({\log _m}\left( {1 – 8{m^{ – x}}} \right) \ge 2(1 – x)\) có hữu hạn nghiệm nguyên. Tính \(b – a\)

A. 1.

B. \(3\sqrt 2 – 1\).

C. \(2\sqrt 2 – 1\).

D. \(4\sqrt 2 – 1\).

Lời giải:

Trường hợp 1: \(m > 1\)

Ta có: \({\log _m}\left( {1 – 8{m^{ – x}}} \right) \ge 2(1 – x) \Leftrightarrow 1 – 8{m^{ – x}} \ge {m^{2 – 2x}} \Leftrightarrow {m^2} \cdot {m^{ – 2x}} + 8{m^{ – x}} – 1 \le 0\)

\( \Leftrightarrow 0 < {m^{ – x}} \le \frac{{\sqrt {16 + {m^2}} – 4}}{{{m^2}}} \Leftrightarrow – x \le {\log _m}\left( {\frac{{\sqrt {16 + {m^2}} – 4}}{{{m^2}}}} \right) \Leftrightarrow x \ge – {\log _m}\left( {\frac{{\sqrt {16 + {m^2}} – 4}}{{{m^2}}}} \right)\).

Rỏ ràng trong trường hợp này không thể có hữu hạn nghiệm nguyên

Trường hợp \({\bf{2}}:0 < m < 1\)

Ta có: \({\log _m}\left( {1 – 8{m^{ – x}}} \right) \ge 2(1 – x) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 – 8{m^{ – x}} \le {m^{2 – 2x}}}\\{1 – 8{m^{ – x}} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^2} \cdot {m^{ – 2x}} + 8{m^{ – x}} – 1 \ge 0}\\{{m^{ – x}} < \frac{1}{8}}\end{array}} \right.} \right.\)

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{m^{ – x}} \ge \frac{{\sqrt {16 + {m^2}} – 4}}{{{m^2}}}}\\{ – x > {{\log }_m}\frac{1}{8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ – x \le {{\log }_m}\frac{{\sqrt {16 + {m^2}} – 4}}{{{m^2}}}}\\{x < {{\log }_m}8}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge – {{\log }_m}\frac{{\sqrt {16 + {m^2}} }}{{{m^2}}}}\\{x < {{\log }_m}8}\end{array}} \right.} \right.} \right.\)

Để bất phương trình có hữu hạn nghiệm nguyên thì:

\({\log _m}8 + {\log _m}\frac{{\sqrt {16 + {m^2}} – 4}}{{{m^2}}} > 0 \Leftrightarrow {\log _m}\frac{{8\sqrt {16 + {m^2}} – 32}}{{{m^2}}} > 0 \Leftrightarrow \frac{{8\sqrt {16 + {m^2}} – 32}}{{{m^2}}} < 1\)

\( \Leftrightarrow 8\sqrt {16 + {m^2}} < {m^2} + 32 \Leftrightarrow {m^4} > 0,\forall m \in (0;1)\)

Vậy \(b – a = 1\)