Cho \(x,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \(2x.{\log _2}\frac{x}{{y + 1}} = y – 4x + 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} – {y^2}\) là 

Câu hỏi:
Cho \(x,y\) là hai số thực dương thỏa mãn \(2x.{\log _2}\frac{x}{{y + 1}} = y – 4x + 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {x^2} – {y^2}\) là 

A. \( – \frac{1}{{12}}\). 

B. \(\frac{1}{{12}}\). 

C. \(\frac{5}{{12}}\). 

D. \(\frac{7}{{12}}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Từ giả thiết ta có 

\(2x{\log _2}\frac{x}{{y + 1}} = y – 4x + 1 \Leftrightarrow x\left( {4 + 2{{\log }_2}x – 2{{\log }_2}\left( {y + 1} \right)} \right) = y + 1\)

\( \Leftrightarrow x\left( {4 + 2{{\log }_2}x} \right) = 2x{\log _2}\left( {y + 1} \right) + y + 1 \Leftrightarrow 2x{\log _2}x + 2x = 2x\left( {{{\log }_2}\left( {y + 1} \right) – 1} \right) + y + 1\)

\( \Leftrightarrow 2x{\log _2}x + 2x = 2x{\log _2}\frac{{y + 1}}{2} + y + 1 \Leftrightarrow x{\log _2}x + x = x{\log _2}\frac{{y + 1}}{2} + \frac{{y + 1}}{2}\,\,(*)\)  

Đặt \(u = \frac{{y + 1}}{2} \Rightarrow u > 0\).

\((*) \Leftrightarrow x{\log _2}x + x = x{\log _2}u + u \Leftrightarrow x\left( {{{\log }_2}x – {{\log }_2}u} \right) + x – u = 0\) 

Nếu 

\(x > u > 0 \Rightarrow x\left( {{{\log }_2}x – {{\log }_2}u} \right) + x – u > 0\) 

\(0 < x < u \Rightarrow x\left( {{{\log }_2}x – {{\log }_2}u} \right) + x – u < 0\)

\(x = u \Rightarrow x\left( {{{\log }_2}x – {{\log }_2}u} \right) + x – u = 0\) 

Do đó \((*) \Leftrightarrow x = u \Rightarrow x = \frac{{y + 1}}{2}\).

Suy ra \(P = {x^2} – {y^2} = {\left( {\frac{{y + 1}}{2}} \right)^2} – {y^2} =- \frac{{3{y^2}}}{4} + y + \frac{1}{4} =- \frac{3}{4}\left( {{y^2} – \frac{4}{3}y + \frac{4}{9}} \right) + \frac{7}{{12}} \le \frac{7}{{12}}\).

Dấuxảy ra khi \(y = \frac{2}{3};x = \frac{5}{6}\).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P\) là \(\frac{7}{{12}}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit