Câu hỏi:
Cho \(a;b;c\) là các số thực không âm thỏa mãn \({\log _2}\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{1 + {a^2}}} = 2 – 2\left( {ab + bc + ca} \right)\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = 10{a^2} + 10{b^2} + {c^2}\).
A. \(\frac{{11}}{3}\).
B. \(4\).
C. \(\frac{{10}}{3}\).
D. \(11\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có \({\log _2}\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{1 + {a^2}}} = 2 – 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\frac{{\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)}}{{1 + {a^2}}} = 2 + 2{a^2} – 2\left( {{a^2} + ab + bc + ca} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) + 2\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) = {\log _2}\left( {1 + {a^2}} \right) + 2\left( {1 + {a^2}} \right)\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + 2t\) với \(t > 0\). Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2 > 0,\forall t > 0\).
Do đó phương trình \(f\left( {\left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right)} \right) = f\left( {1 + {a^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {a + c} \right) = 1 + {a^2}\)\( \Leftrightarrow ab + bc + ca = 1\).
Ta có:\(\left. \begin{array}{l}2{a^2} + 2{b^2} \ge 4ab\\8{a^2} + \frac{1}{2}{c^2} \ge 4ac\\8{b^2} + \frac{1}{2}{c^2} \ge 4bc\end{array} \right\} \Rightarrow 10{a^2} + 10{b^2} + {c^2} \ge 4\left( {ab + bc + ca} \right) = 4\). Suy ra \(P \ge 4\).
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chi khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{1}{3}\\c = \frac{4}{3}\end{array} \right.\). Vậy \(\min P = 4\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời