Câu hỏi:
Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn:
\({2^{{x^2} – 2x + 4}} + {\left( {4x + 4y – 4} \right)^2} – 32y\left( {x + 1} \right) = {2^{ – {y^2} + 4y}} – 48\)
Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y\) là.
A. \(28 + 6\sqrt 2 \).
B. \(12\sqrt 2 \).
C. \(28 – 6\sqrt 2 \).
D. \(28\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có:
\({2^{{x^2} – 2x + 4}} + {\left( {4x + 4y – 4} \right)^2} – 32y\left( {x + 1} \right) = {2^{ – {y^2} + 4y}} – 48\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 2x}} + {\left( {x + y – 1} \right)^2} – 2y\left( {x + 1} \right) = {2^{ – {y^2} + 4y – 4}} – 3\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 2x}} + {x^2} + {y^2} – 2x – 4y + 4 = {2^{ – {y^2} + 4y – 4}}\\ \Leftrightarrow {2^{{x^2} – 2x}} + \left( {{x^2} – 2x} \right) = {2^{ – {{\left( {y – 2} \right)}^2}}} + \left[ { – {{\left( {y – 2} \right)}^2}} \right]\left(*\right)\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} + t\) với \(\) \(t \in \mathbb{R}\)
Có \(f’\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + 1 > 0\) với mọi \(t \in \mathbb{R}\)
Do đó từ \(\left(*\right) \Rightarrow {x^2} – 2x =- {\left( {y – 2} \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2x + 4y – 4\)
Nên \(P = {x^2} + {y^2} + 4x + 2y = 6x + 6y – 4\) hay \(6x + 6y – 4 – P = 0\)
Trong mặt phẳng \(Oxy\) xét đường tròn \(\left( C \right)\):\({x^2} + {y^2} – 2x – 4y + 4 = 0\) có tâm \(I\left( {1;2} \right)\), bán kính \(R = 1\) và đường thẳng \(\left( \Delta\right):6x + 6y – 4 – P = 0\).
Tồn tại \(\left( {x;y} \right)\) để \(\left( C \right)\)và \(\left( \Delta\right)\) có điểm chung khi và chỉ khi \(d\left( {I;\Delta } \right) \le R \Leftrightarrow \frac{{\left| {14 – P} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {6^2}} }} \le 1 \Leftrightarrow 14 – 6\sqrt 2\le P \le 14 + 6\sqrt 2 \)
Vậy \(MaxP = 14 + 6\sqrt 2 \)\(\left( {\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2 + \sqrt 2 }}{2};\frac{{4 + \sqrt 2 }}{2}} \right)} \right)\);
\(MinP = 14 – 6\sqrt 2 \) \(\left( {\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{2 – \sqrt 2 }}{2};\frac{{4 – \sqrt 2 }}{2}} \right)} \right)\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời