Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right) + y\left( {{x^2} – 2y} \right) = 4{\log _9}y\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {x^2} – 2y – 3{y^2} – 1\) là

Câu hỏi:
Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right) + y\left( {{x^2} – 2y} \right) = 4{\log _9}y\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = {x^2} – 2y – 3{y^2} – 1\) là

A. \({T_{\min }} = 1\).  

B. \({T_{\min }} =- 2\).  

C. \({T_{\min }} = 3\).  

D. \({T_{\min }} = 4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \({\log _{\sqrt 3 }}\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right) + y\left( {{x^2} – 2y} \right) = 4{\log _9}y \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}{x^2} + {x^2}y – 2{y^2} – {\log _{\sqrt 3 }}2 = {\log _{\sqrt 3 }}y\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}{x^2} + {x^2}y = {\log _{\sqrt 3 }}y + 2{y^2} + {\log _{\sqrt 3 }}2\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}{x^2} + {\log _{\sqrt 3 }}y + {x^2}y = {\log _{\sqrt 3 }}y + {\log _{\sqrt 3 }}y + {\log _{\sqrt 3 }}2 + 2{y^2}\)

\( \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2}y} \right) + {x^2}y = {\log _{\sqrt 3 }}\left( {2{y^2}} \right) + 2{y^2}\left( 1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _{\sqrt 3 }}t + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t.\ln \sqrt 3 }} + 1 > 0,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {{x^2}y} \right) = f\left( {2{y^2}} \right)\)\( \Leftrightarrow {x^2}y = 2{y^2}\)\( \Leftrightarrow x = 2y\).

\(T = {x^2} – 2y – 3{y^2} – 1 = 4{y^2} – 2y – 3{y^2} – 1 = {y^2} – 2y – 1 = {\left( {y – 1} \right)^2} – 2 \ge- 2\).

Dấu xảy ra khi \(y = 1\).Vậy \({T_{\min }} =- 2\) khi \(y = 1,x = 2\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit