Cho các số thực dương \(a,{\rm{ }}b\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{a + 1}}{{2b}} = 2b – 3a – 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{2}{3}{b^3} – \frac{9}{2}{b^2} + 6a + 6\).

Câu hỏi: Cho các số thực dương \(a,{\rm{ }}b\) thỏa mãn \({\log _3}\frac{{a + 1}}{{2b}} = 2b – 3a – 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{2}{3}{b^3} – \frac{9}{2}{b^2} + 6a + 6\).

A. \(\min P =- \frac{{40}}{3}\) 

B. \(\min P = \frac{{23}}{3}\)  

C. \(\min P = 6\)  

D. \(\min P =- \frac{{23}}{3}\)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \({\log _3}\frac{{a + 1}}{{2b}} = 2b – 3a – 4 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {a + 1} \right) + 3a + 4 = {\log _3}2b + 2b\) 

\( \Leftrightarrow {\log _3}3\left( {a + 1} \right) + 3\left( {a + 1} \right) = {\log _3}2b + 2b\). 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\),\(t > 0\). 

\(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\) \( \Rightarrow \)\(f(t)\) là hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \((1) \Leftrightarrow f\left( {3\left( {a + 1} \right)} \right) = f\left( {2b} \right) \Leftrightarrow 3\left( {a + 1} \right) = 2b \Leftrightarrow 3a = 2b – 3\). 

Vì \(a > 0\) nên \(2b – 3 > 0 \Leftrightarrow b > \frac{3}{2}\).

Khi đó \(P = \frac{2}{3}{b^3} – \frac{9}{2}{b^2} + 2\left( {2b – 3} \right) + 6 = \frac{2}{3}{b^3} – \frac{9}{2}{b^2} + 4b = g\left( b \right)\) với \(b > \frac{3}{2}\).

Có \(g’\left( b \right) = 2{b^2} – 9b + 4 = \left( {b – 4} \right)\left( {2b – 1} \right)\),

\(g’\left( b \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \frac{1}{2}\,(l)\\b = 4\,\,(tm)\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên: 

Từ BBT ta có: \(g\left( b \right) =- \frac{{40}}{3}\,\), đẳng thức xảy ra khi \(b = 4\), \(a = \frac{5}{3}\).

Vậy GTNN của biểu thức \(P\) bằng \( – \frac{{40}}{3}\).

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit