Câu hỏi:
Cho các số thực dương \(x,y,a,b\) thỏa mãn \(a,b > 1\) và \({a^x} = {b^y} = ab\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{{{16}^{x + y}} – {{513.4}^{x + y}} + {2^{x + y + 5}} + 4\ln 2}}{{{{2.4}^{x + y + 4}} – {2^{x + y + 5}} – \left( {x + y + 4} \right)\ln 2}}\) bằng
A. \(0.\)
B. \(\frac{1}{2}\) .
C. \(\frac{{ – 1}}{2}\) .
D. \(1.\)
GY::
Từ giả thiết, ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x = \log _a^{}ab = 1 + \log _a^{}b\\y = \log _b^{}ab = 1 + \log _b^{}a\end{array} \right. \Rightarrow x + y = 2 + \log _a^{}b + \log _b^{}a \ge 4\).
Đặt \({t_1} = {2^{2x + 2y}};{t_2} = {2^{x + y + 4}}\).
Do \(x + y \ge 4\) nên \({2^{2x + 2y}} \ge {2^{x + y + 4}} \ge 256 > 2\) hay \({t_1} > {t_2} > 2\).
Xét hàm số\(f\left( t \right) = 2{t^2} – 2t – \ln t,\,\,t > 2\).
Ta thấy \(f’\left( t \right) = \frac{{4{t^2} – 2t – 1}}{t} = \frac{{4t\left( {t – 2} \right) + 6\left( {t – 2} \right) + 11}}{t} > 0,\;\forall t > 2\).
Do đó hàm số\(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\).
Suy ra \(f\left( {{t_1}} \right) \ge f\left( {{t_2}} \right) > f\left( 2 \right) > 0\).
Ta có \(P = \frac{{\frac{{f\left( {{t_1}} \right)}}{2} – f\left( {{t_2}} \right)}}{{f\left( {{t_2}} \right)}} = \frac{{f\left( {{t_1}} \right)}}{{2f\left( {{t_2}} \right)}} – 1\)\( \Rightarrow P \ge \frac{{ – 1}}{2}\).
Dấu bằng xảy ra khi \(a = b,x = y = 2\).
Vậy \(\min P = \frac{{ – 1}}{2}\) đạt được khi \(a = b,x = y = 2\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời