Câu hỏi:
Cho \(a,\,b,\,c\) là các số thực thỏa mãn \({2^{2ab – {c^2}}}\left( {{{64}^{a + b}} + 6a + 6b + 2ab – {c^2}} \right) = 1\). Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T = 2{a^2} + 5{b^2} – {c^2} + 2021\) và \(S\) là tập hợp các ước nguyên dương của \(m\). Số phần tử của tập \(S\) là
A. \(6\).
B. \(8\).
C. \(10\).
D. \(12\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Ta có: \({2^{2ab – {c^2}}}\left( {{{64}^{a + b}} + 6a + 6b + 2ab – {c^2}} \right) = 1 \Leftrightarrow {64^{a + b}} + 6a + 6b + 2ab – {c^2} = {2^{{c^2} – 2ab}}\)
\( \Leftrightarrow {2^{6a + 6b}} + 6a + 6b = {2^{{c^2} – 2ab}} + {c^2} – 2ab\). Xét hàm \(f\left( t \right) = {2^t} + t,t \in \mathbb{R}\).
Nhận thấy \(f’\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0\,,\forall t \in \mathbb{R}\), do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đơn điệu tăng trên \(\mathbb{R}\).
Suy ra \(f\left( {6a + 6b} \right) = f\left( {{c^2} – 2ab} \right) \Leftrightarrow 6a + 6b = {c^2} – 2ab \Leftrightarrow {c^2} = 2ab + 6a + 6b\).
Ta có: \(T = 2{a^2} + 5{b^2} – {c^2} + 2021 \Leftrightarrow T = 2{a^2} + 5{b^2} – 6a – 6b – 2ab + 2021\).
\( \Leftrightarrow T = {a^2} + {b^2} + 9 + 2ab – 6a – 6b + {a^2} – 4ab + 4{b^2} + 2012\)
\( \Leftrightarrow T = {\left( {a + b – 3} \right)^2} + {\left( {a – 2b} \right)^2} + 2012\). Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b – 3} \right)^2} \ge 0\\{\left( {a – 2b} \right)^2} \ge 0\end{array} \right.\) với \(\forall a,b \in \mathbb{R}\). Do đó \(T \ge 2012\).
Suy ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T\) là \(m = 2012\) đạt tại \(\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 1\\c = \sqrt {22} \end{array} \right.\).
Nhận thấy \(2012 = {2^2}.503\) và \(S\) là tập hợp các ước nguyên dương nên:
\(S = \left\{ {1\,;\,2\,;\,4\,;\,503\,;\,1006\,;\,2012} \right\}\). Vậy số phần tử của tập hợp \(S\) là \(6\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời