Câu hỏi:
Cho \(x,y\) là các số dương thỏa mãn \({\log _3}\frac{{x + 4y}}{{x + y}} = 2x – y + 1\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \frac{{3{x^3}y}}{{{{(x + y)}^2}}} + \frac{{2y}}{{x(x + y)}}\) là m. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. \(1 < m < 2\).
B. \(2 < m \le 3\).
C. \(m < 1\).
D. \(1 \le m \le 2\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
\(\forall x,y > 0\), ta có: \({\log _3}\frac{{x + 4y}}{{x + y}} = 2x – y + 1 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 4y} \right) – {\log _3}\left( {x + y} \right) =- \left( {x + 4y} \right) + 3\left( {x + y} \right) + 1\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + 4y} \right) + \left( {x + 4y} \right) = 3\left( {x + y} \right) + {\log _3}3\left( {x + y} \right)\)
Xét Hàm số\(f\left( t \right) = {\log _3}t + t\) có \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0\), \(\forall \)\(t \in \left( {0, + \infty } \right)\)
\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\)đồng biến trên \(\left( {0, + \infty } \right)\)
Khi đó:\( \Leftrightarrow f(x + 4y) = f\left[ {3(x + y)} \right] \Leftrightarrow x + 4y = 3\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow y = 2x\)
Với \(y = 2x\) ta có: \(P = \frac{{3{x^3}y}}{{{{(x + y)}^2}}} + \frac{{2y}}{{x(x + y)}} = \frac{{3{x^4}y + 2xy + 2{y^2}}}{{x{{(x + y)}^2}}}\)\( = \frac{{6{x^5} + 4{x^2} + 8{x^2}}}{{x{{(3x)}^2}}} = \frac{{6{x^5} + 12{x^2}}}{{9{x^3}}} = \frac{2}{3}{x^2} + \frac{4}{{3x}}\)
Áp dụng BĐT cô si ta có : \(P = \frac{2}{3}{x^2} + \frac{2}{{3x}} + \frac{2}{{3x}} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{3}\frac{2}{3}\frac{2}{3}}} = 2\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = 1\)
Vậy, GTNN của P là \(m = 2\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2\end{array} \right.\)
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời