Xét các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {x – 1} \right) + {\log _2}\left( {y – 2} \right) = 2\). Khi biểu thức \(P = x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(3x – 2y = a + b\sqrt 3 \) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\). Tính \(T = ab\)?

Câu hỏi:
Xét các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {x – 1} \right) + {\log _2}\left( {y – 2} \right) = 2\). Khi biểu thức \(P = x + 3y\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(3x – 2y = a + b\sqrt 3 \) với \(a,\,\,b \in \mathbb{Q}\). Tính \(T = ab\)?

A. \(T = \frac{{14}}{3}\). 

B. \(T = \frac{7}{3}\). 

C. \(T =- \frac{{14}}{3}\). 

D. \(T =- \frac{7}{3}\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x – 1 > 0\\y – 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\y > 2\end{array} \right.\)

Khi đó: \({\log _2}\left( {x – 1} \right) + {\log _2}\left( {y – 2} \right) = 2 \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {y – 2} \right) = 4 \Leftrightarrow y – 2 = \frac{4}{{x – 1}} \Leftrightarrow y = \frac{4}{{x – 1}} + 2\)

Suy ra: \(P = x + 3y = x + \frac{{12}}{{x – 1}} + 6 = x – 1 + \frac{{12}}{{x – 1}} + 7\)

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: \(\left( {x – 1} \right) + \frac{{12}}{{x – 1}} \ge 2\sqrt {\left( {x – 1} \right).\frac{{12}}{{x – 1}}}= 4\sqrt 3 \)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x – 1 = \frac{{12}}{{x – 1}} \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} = 12 \Leftrightarrow \left| {x – 1} \right| = 2\sqrt 3\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + 2\sqrt 3 \,\,\left( N \right)\\x = 1 – 2\sqrt 3 \,\,\left( L \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt 3 }} + 2 = \frac{{2\sqrt 3+ 6}}{3}\).

Do đó: \(3x – 2y = 3\left( {1 + 2\sqrt 3 } \right) – 2\left( {\frac{{2\sqrt 3+ 6}}{3}} \right) =- 1 + \frac{{14}}{3}\sqrt 3\Rightarrow a =- 1;\,\,b = \frac{{14}}{3} \Rightarrow T = ab =- \frac{{14}}{3}\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit