Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right) + c\left( {c – 4} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).

Câu hỏi:
Cho các số thực \(a,b,c\) thỏa mãn \({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right) + c\left( {c – 4} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = ab + bc + ca\).

A. \(20 – 2\sqrt {30\,} \). 

B. \(12 + 2\sqrt {42\,} \). 

C. \(12 + 2\sqrt {20\,} \). 

D. \(20 + 4\sqrt {30\,} \).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Điều kiện: \(a + b + c > 0\).

\({\log _2}\frac{{a + b + c}}{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2}} = a\left( {a – 4} \right) + b\left( {b – 4} \right) + c\left( {c – 4} \right)\)\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + b + c} \right) – {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} – 4\left( {a + b + c} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {4\left( {a + b + c} \right)} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) = {\log _2}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right) + {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t,\,\,\,t > 0\).

Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\,\forall t > 0\)nên hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow f\left( {4\left( {a + b + c} \right)} \right) = f\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right)\)\( \Leftrightarrow 4\left( {a + b + c} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\)

Với bất kì \(a,b,c\) ta có \({\left( {a – b} \right)^2} + {\left( {b – c} \right)^2} + {\left( {c – a} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

Khi đó \(P = ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2}\).

Cách 1.

Ta thấy \(4\left( {a + b + c} \right) = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2 \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + {\left( {c – 2} \right)^2} = 10\)

Khi đó phương trình \({\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + {\left( {c – 2} \right)^2} = 10\) là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(I\left( {2;2;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {10\,} \).

Lấy điểm \(M\left( {a;b;c} \right) \in \left( S \right)\), ta có \(O{M^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2}\) và \(OM\) lớn nhất bằng \(OI + R = 2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} \).

Suy ra \({P_{\max }} = {\left( {2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} } \right)^2} = 22 + 4\sqrt {30\,} \)đạt được khi \(a = b = c = 2 + \sqrt {10\,} \).

Cách 2.

Ta thấy \({\left( {a + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right),\forall a,b,c\).

\( \Leftrightarrow \frac{1}{{16}}{\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} + 2} \right)^2} \le 3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)^2} – 48\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) + 4 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 22 + 4\sqrt {30} \).

Suy ra \(P = ab + bc + ca \le {a^2} + {b^2} + {c^2} \le 22 + 4\sqrt {30} \).

Vậy \({P_{\max }} = {\left( {2\sqrt {3\,}+ \sqrt {10\,} } \right)^2} = 22 + 4\sqrt {30\,} \)đạt được khi \(a = b = c = 2 + \sqrt {10\,} \).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit