Câu hỏi:
Cho \(x,y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3(y – \sqrt {1 + x} ) – {y^2} + x\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{{{y^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\) bằng
A. \(\sqrt 2 \).
B. \(\sqrt 3 \).
C. \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\).
D. \(\frac{1}{{\sqrt 3 }}\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Với \(x,y\) là các số dương, ta có
\({\log _2}\frac{y}{{2\sqrt {1 + x} }} = 3(y – \sqrt {1 + x} ) – {y^2} + x \Leftrightarrow {\log _2}y + {y^2} – 3y = {\log _2}\sqrt {1 + x}+ (1 + x) – 3\sqrt {1 + x} \).
Xét hàm \(f(t) = {\log _2}t + {t^2} – 3t\) trên \((0; + \infty )\).
Ta có \(f'(t) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 2t – 3 \ge 2\sqrt {\frac{2}{{\ln 2}}}- 3 > 0,{\rm{ }}\forall t > 0\) suy ra hàm số \(f(t)\) đồng biến trên \((0; + \infty )\)
Do đó\( \Leftrightarrow f(y) = f(\sqrt {1 + x} ) \Leftrightarrow y = \sqrt {1 + x}\Leftrightarrow {y^2} = 1 + x\).
Khi đó \(P = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), ta có \(2({x^2} + 1) \ge {(x + 1)^2} \Rightarrow \sqrt 2\ge \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}\), dấu bằng xảy ra khi \(x = 1\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(\sqrt 2 \), đạt được khi \(x = 1,y = \sqrt 2 \).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời