Câu hỏi:
Gọi \(M\) và \(m\) tương ứng là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {2^{\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|}} + {2^{\left| {{\rm{cos}}x} \right|}}\). Tính tổng \(T = 1010M + 2021m\).
A. \(T = {1010.2^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + 6063\).
B. \(T = {2020.2^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + 2021\).
C. \(T = {1010.2^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + 2021\).
D. \(T = {2020.2^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + 6063\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Đặt \(t = \left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|,\left( {0 \le t \le 1} \right)\). Khi đó \(y = f\left( t \right) = {2^t} + {2^{\sqrt {1 – {t^2}} }},\left( {0 \le t \le 1} \right)\).
Ta có \(f’\left( t \right) = {2^t}.\ln 2 + {2^{\sqrt {1 – {t^2}} }}.\frac{{ – t}}{{\sqrt {1 – {t^2}} }}.\ln 2 = t.\ln 2\left( {\frac{{{2^t}}}{t} – \frac{{{2^{\sqrt {1 – {t^2}} }}}}{{\sqrt {1 – {t^2}} }}} \right)\).
Xét hàm số \(g\left( u \right) = \frac{{{2^u}}}{u}{\rm{ }}\left( {0 < u < 1} \right)\). Ta có \(g’\left( u \right) = \frac{{{2^u}\left( {u\ln 2 – 1} \right)}}{{{u^2}}}\).
Vì \(0 < u < 1,0 < \ln 2 < 1\) nên \(g’\left( u \right) < 0{\rm{ }}\forall u \in \left( {0;1} \right)\). Vì vậy\(g\left( u \right)\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).
Do đó \(f’\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{2^t}}}{t} = \frac{{{2^{\sqrt {1 – {t^2}} }}}}{{\sqrt {1 – {t^2}} }} \Leftrightarrow t = \sqrt {1 – {t^2}}\Leftrightarrow t = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).
Ta có \(f\left( 0 \right) = 3;f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = {2.2^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}};f\left( 1 \right) = 3.\)
\( \Rightarrow M = \mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = {2.2^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}}\) khi \(\left| {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
\(m = \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( t \right) = f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 3\) khi \(\left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\left| {\sin x} \right| = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}{\rm{ }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vậy \(T = {2020.2^{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} + 6063\).
=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit
Trả lời