Cho 3 số thực dương \(a,b,c\). Biết rằng \(c \le 3\) và các số thực \(a,b,c\) thoả mãn hệ 

thức: \(\ln \frac{{{a^3} + {b^3} + \left( {a + b} \right)\left( {3ab + 1} \right)}}{c} + a + b – c = \ln \left( {{c^2} + 1} \right)\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{a + b + c}}{{abc}}\)

Câu hỏi:
Cho 3 số thực dương \(a,b,c\). Biết rằng \(c \le 3\) và các số thực \(a,b,c\) thoả mãn hệ 

thức: \(\ln \frac{{{a^3} + {b^3} + \left( {a + b} \right)\left( {3ab + 1} \right)}}{c} + a + b – c = \ln \left( {{c^2} + 1} \right)\)

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \frac{{a + b + c}}{{abc}}\)

A. \(\frac{1}{3}\). 

B. \(\frac{8}{9}\). 

C. \(\frac{5}{3}\) 

D. \(2\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\ln \frac{{{a^3} + {b^3} + \left( {a + b} \right)\left( {3ab + 1} \right)}}{c} + a + b – c = \ln \left( {{c^2} + 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow \ln \left( {{{\left( {a + b} \right)}^3} + a + b} \right) + a + b = \ln ({c^3} + c) + c\)\(\left( * \right)\) . Xét hàm số \(f\left( x \right) = \ln \left( {{x^3} + x} \right) + x\).

Tập xác định \(D = \left( {0; + \infty } \right)\). \(f’\left( x \right) = \frac{{3{x^2} + 1}}{{{x^3} + x}} + 1 > 0,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến và liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {a + b} \right) = f\left( c \right) \Leftrightarrow a + b = c\). 

Ta có \(A = \frac{{a + b + c}}{{abc}} = \frac{{c + c}}{{abc}} = \frac{2}{{ab}} \ge \frac{2}{{\frac{{{{(a + b)}^2}}}{4}}} = \frac{8}{{{c^2}}} \ge \frac{8}{9}\). Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{3}{2}\\c = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(MinA = \frac{8}{9}\) khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = \frac{3}{2}\\c = 3\end{array} \right.\).

=======
Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit