Cho \(x,y > 0\) thỏa \({2021^{{x^2} – y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}}\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = 2y – 3x\) có dạng \(\frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^ * }\)và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}.\)

Câu hỏi: Cho \(x,y > 0\) thỏa \({2021^{{x^2} – y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}}\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = 2y – 3x\) có dạng \(\frac{a}{b}\) với \(a,b \in {\mathbb{N}^ * }\)và \(\frac{a}{b}\) tối giản. Tính giá trị biểu thức \(T = {a^2} + {b^2}.\)

A. \(T = 74\). 

B. \(T = 113\). 

C. \(T = 106\). 

D. \(T = 10\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có \({2021^{{x^2} – y + 1}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}} \Leftrightarrow {\sqrt {2021} ^{2\left( {{x^2} – y + 1} \right)}} = \frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}} \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} – y + 1} \right) = {\log _{\sqrt {2021} }}\frac{{2x + y}}{{{{(x + 1)}^2}}}\)

\( \Leftrightarrow 2{(x + 1)^2} – 2(2x + y) = {\log _{\sqrt {2021} }}(2x + y) – {\log _{\sqrt {2021} }}{(x + 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow 2{(x + 1)^2} + {\log _{\sqrt {2021} }}{(x + 1)^2} = 2(2x + y) + {\log _{\sqrt {2021} }}(2x + y)\) 

Xét hàm số \(f(t) = 2t + {\log _{\sqrt {2021} }}t\) với \(t > 0\):

Ta có \(f'(t) = 2 + \frac{1}{{t.\ln \sqrt {2021} }} > 0\) với \(t > 0\). Do đó \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó \(\left( 1 \right)\)trở thành \(f\left[ {{{(x + 1)}^2}} \right] = f(2x + y) \Leftrightarrow {(x + 1)^2} = 2x + y \Leftrightarrow y = {x^2} + 1.\)

Suy ra \(P = 2y – 3x = 2\left( {{x^2} + 1} \right) – 3x = 2{x^2} – 3x + 2\).

Bảng biến thiên:

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\frac{7}{8}\) khi \(x = \frac{3}{4}.\) Suy ra \(a = 7,b = 8\) và \(T = {a^2} + {b^2} = 113.\)

Vậy chọn phương án B

======= Thuộc mục: Trắc nghiệm Logarit và hàm số lôgarit