Cho \(x\) và \(y\) là các số thực không âm thỏa mãn \({\log _2}\left( {y + \sqrt {y + {2^x}} } \right) = 2x\). Khi biểu thức \(y – {2^{x + 2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(y + {2^x}\) bằng?

Cho \(x\) và \(y\) là các số thực không âm thỏa mãn \({\log _2}\left( {y + \sqrt {y + {2^x}} } \right) = 2x\). Khi biểu thức \(y – {2^{x + 2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của biểu thức \(y + {2^x}\) bằng?

A. \(\frac{5}{2}\).

B. \(\frac{{25}}{4}\).

C. \(\frac{{25}}{2}\).

D. \(\frac{4}{{25}}\).

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {y + \sqrt {y + {2^x}} } \right) = 2x\\ \Leftrightarrow y + \sqrt {y + {2^x}} = {2^{2x}}\\ \Leftrightarrow y + {2^x} + \sqrt {y + {2^x}} = {2^{2x}} + {2^x} \Leftrightarrow f\left( {\sqrt {y + {2^x}} } \right) = f\left( {{2^x}} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f(t) = {t^2} + t\) trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Ta có: \(f'(t) = 2t + 1 > 0\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Suy ra hàm số \(f(t) = {t^2} + t\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right).\)

Do đó \(\sqrt {y + {2^x}} = {2^x} \Leftrightarrow y + {2^x} = {2^{2x}} \Leftrightarrow y – {2^{x + 2}} = {2^{2x}} – {2^x} – {2^{x + 2}} \Leftrightarrow y – {2^{x + 2}} = {2^{2x}} – {5.2^x}\)

Đặt \({2^x} = u,u > 0\). Ta có: \(y – {2^{x + 2}} = g\left( u \right) = {u^2} – 5u\)

\(Min(y – {2^{x + 2}}) = Min\,g\left( u \right) \Leftrightarrow u = \frac{5}{2} \Leftrightarrow {2^x} = \frac{5}{2} \Rightarrow y + {2^x} = {2^{2x}} = \frac{{25}}{4}\)_.

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024