Cho \(x\) và \(y\) là các số thực không âm thỏa mãn \(384.\,\,{128^{{x^2} – 2x}} – {6.8^y} + 6 = 3y – 7{x^2} + 14x\). Khi biểu thức \( – 3y + 4{x^2} – 2x + 8\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(P = 3x – 2y\) bằng

Cho \(x\) và \(y\) là các số thực không âm thỏa mãn \(384.\,\,{128^{{x^2} – 2x}} – {6.8^y} + 6 = 3y – 7{x^2} + 14x\). Khi biểu thức \( – 3y + 4{x^2} – 2x + 8\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức \(P = 3x – 2y\) bằng

A. \(10\).

B. \( – 22\).

C. \(14\).

D. \(2\)

Lời giải:

Ta có:

\(384.\,\,{128^{{x^2} – 2x}} – {6.8^y} + 6 = 3y – 7{x^2} + 14x \Leftrightarrow 384.\,\,{2^{7{x^2} – 14x}} + 7{x^2} – 14x = {6.2^{3y}} + 3y – 6\)

\( \Leftrightarrow 384.\,\,{2^{7{x^2} – 14x}} + 7{x^2} – 14x = {384.2^{3y – 6}} + 3y – 6\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {384.2^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\)

Có \(f’\left( t \right) = {384.2^t}.\ln 2 + 1 > 0,\,\,\,\,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right) = {384.2^t} + t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Do đó

\(384.\,\,{2^{7{x^2} – 14x}} + 7{x^2} – 14x = {384.2^{3y – 6}} + 3y – 6 \Leftrightarrow 7{x^2} – 14x = 3y – 6 \Leftrightarrow y = \frac{{7x\left( {x – 2} \right)}}{3} + 2\)

Ta có: \( – 3y + 4{x^2} – 2x + 8 = – 7{x^2} + 14x – 6 + 4{x^2} – 2x + 8 = – 3{x^2} + 12x + 2\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = – 3{x^2} + 12x + 2,\forall x > 0\).

Suy ra hàm số \(f\left( x \right)\)luôn đạt GTLN bằng \(14\)tại \(x = 2\)

Khi đó: Tại\(x = 2\) thì \(y = \frac{{7x\left( {x – 2} \right)}}{3} + 2 = 2\). Vậy \(P = 3x – 2y = 3.2 – 2.2 = 2\).

===========

Tương tự Câu 46 TÌM MAX MIN BIỂU THỨC LOGARIT 2 BIẾN – VẬN DỤNG CAO – PHÁT TRIỂN Toán TK 2024