Cho \(x\) và \(y\) là các số thực dương thỏa mãn \({\log _2}x + xy – 4 = {\log _2}\frac{{x + 4}}{{y + 1}}\). Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { – 2024;2024} \right]\) để bất phương trình \(4x + \left( {5 – m} \right)y – 12 – 4m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi số thực dương \(x\) và \(y\). Số phần tử của tập \(S\) là

A. \(2024\).

B. \(2023\).

C. \(2026\).

D. \(1013\).

Lời giải:

\(\begin{array}{l}{\log _2}x + xy – 4 = {\log _2}\frac{{x + 4}}{{y + 1}}\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + xy – 4 = {\log _2}\left( {x + 4} \right) – {\log _2}\left( {y + 1} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}x + {\log _2}\left( {y + 1} \right) + xy = 4 + {\log _2}\left( {x + 4} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {xy + x} \right) + xy + x = x + 4 + {\log _2}\left( {x + 4} \right)\;\; & \left( 1 \right)\end{array}\)

+/ Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right) \Rightarrow f’\left( t \right) = \frac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\).

Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\)luôn đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Vậy: \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow xy + x = x + 4 \Leftrightarrow y = \frac{4}{x}\).

Khi đó: \(4x + \left( {5 – m} \right)y – 12 – 4m \ge 0,\,\,\forall x,y > 0 \Leftrightarrow m \le \frac{{4x + 5y – 12}}{{y + 4}},\,\,\forall x,y > 0\)

\( \Leftrightarrow m \le \frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x + 1}},\,\,\forall x > 0 \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} \frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x + 1}}\) (2)

+/ Xét hàm số \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} – 3x + 5}}{{x + 1}},\,\,x > 0\)

Khi đó: \(g’\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 2x – 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

\(g’\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x – 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = – 4 & \left( l \right)\\x = 2 & \left( n \right)\end{array} \right.\)

BBT

Dựa vào BBT: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x > 0} g\left( x \right) = 1\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\m \in \mathbb{Z},\,m \in \left[ { – 2024;2024} \right]\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { – 2024; – 2023;…;1} \right\}\)