Câu hỏi:
Cho số phức \(z\)thỏa mãn \(\left| z \right| = 2\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {2 + z} \right| + 3\left| {1 – z} \right|\) bằng
A. \(9\).
B. \(3\sqrt {11} \).
C. \(4\sqrt {11} \).
D. \(2\sqrt {11} \).
Lời giải
Gọi \(z = x + yi\)với \(x,y \in \mathbb{R}\).
Ta có: \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow {y^2} = 4 – {x^2}\), với \(x \in \left[ { – 2;2} \right]\).
\(P = \left| {2 + z} \right| + 3\left| {1 – z} \right| = \sqrt {{{\left( {2 + x} \right)}^2} + {y^2}} + 3\sqrt {{{\left( {1 – x} \right)}^2} + {y^2}} \)\( = \sqrt {8 + 4x} + 3\sqrt {5 – 2x} \).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 + 4x} + 3\sqrt {5 – 2x} \) trên \(\left[ { – 2;2} \right]\).
Có \(f’\left( x \right) = \frac{2}{{\sqrt {8 + 4x} }} – 3\frac{1}{{\sqrt {5 – 2x} }} = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt {5 – 2x} = 3\sqrt {8 + 4x} \Leftrightarrow x = – \frac{{13}}{{11}} \in \left[ { – 2;2} \right]\).
Khi đó \(f\left( { – 2} \right) = 9\), \(f\left( 2 \right) = 7\), \(f\left( { – \frac{{13}}{{11}}} \right) = 3\sqrt {11} \).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(3\sqrt {11} \) đạt được khi \(x = – \frac{{13}}{{11}}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời