Câu hỏi:
Cho số phức \({z_1}\), \({z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = 1\) và \(\overline {{z_2}} \left( {{z_2} – 1 + i} \right) – 6i + 2\) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left| {{z_2}} \right|^2} – \left( {{z_1}\overline {{z_2}} + \overline {{z_1}} {z_2}} \right)\).
A. \(18 – 9\sqrt 2 \).
B. \(3 – \sqrt 2 \).
C. \(18 + 6\sqrt 2 \).
D. \(18 – 6\sqrt 2 \).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \({z_2} = x + yi\), \(\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\), ta có
\(\overline {{z_2}} \left( {{z_2} – 1 + i} \right) – 6i + 2 = {x^2} + {y^2} – x + y + 2 + \left( {x + y – 6} \right)i\).
Vì \(\overline {{z_2}} \left( {{z_2} – 1 + i} \right) – 6i + 2\) là số thực nên \(x + y – 6 = 0\).
Ta có
\(P = {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} – {\left| {{z_1}} \right|^2} – {\left| {{z_2}} \right|^2} = {\left| {{z_1} – {z_2}} \right|^2} – 1\).
Gọi \(d\left( {I;\left( d \right)} \right) < R\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\), suy ra \(A\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(O\) bán kính \(r = 1\).
Gọi \(B\) là điểm biểu diễn số phức \({z_2}\), suy ra \(B\) nằm trên đường thẳng \(\Delta 😡 + y – 6 = 0\).
Ta có \(P = A{B^2} – 1\).
Mà \(AB \ge d\left( {O;\Delta } \right) – r = \frac{{\left| {0 + 0 – 6} \right|}}{{\sqrt 2 }} – 1 = 3\sqrt 2 – 1\).
Nên \(P \ge {\left( {3\sqrt 2 – 1} \right)^2} – 1 = 18 – 6\sqrt 2 \).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(\Delta \) và \(A\) là giao điểm của đoạn \(OB\) với đường tròn \(\left( C \right)\).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)).
Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
Trả lời