Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\overline z = \frac{{2z}}{{z – 2}}\) và \(T = 2\left| {z – 4 + 3i} \right| – \left| {z – 2 – 4i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Biết giá trị lớn nhất của \(T\) bằng \(a\sqrt b ,\,a,b \in \mathbb{Z}\) và \(b\) là số nguyên tố. Tính \({a^2} + {b^2}\).
A. \(41\).
B. \(40\).
C. \(34\).
D. \(52\).
Lời giải
Gọi \(z = x + yi\,\left( {x,y \in \mathbb{R},\,\left( {x;y} \right) \ne \left( {2;0} \right)} \right)\).
Ta có
+) \(\overline z = \frac{{2z}}{{z – 2}} \Leftrightarrow \overline z .\left( {z – 2} \right) = 2z\)\( \Leftrightarrow \overline z .z – 2\left( {z + \overline z } \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} – 4x = 0 \Leftrightarrow {\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} = 4\).
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(z\). Khi đó \(M\)thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2;0} \right)\), bán kính \(R = 2\).
+) \(T = 2\left| {z – 4 + 3i} \right| – \left| {z – 2 – 4i} \right| = 2\sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} – \sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2}} \)\( = 2\sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} – \sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 4} \right)}^2} + 3\left[ {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {y^2}} \right] – 12} \)\( = 2\sqrt {{{\left( {x – 4} \right)}^2} + {{\left( {y + 3} \right)}^2}} – 2\sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} = 2MA – 2MB\), với \(A\left( {4; – 3} \right),\,B\left( {2;1} \right)\).
Ta có \(MA – MB \le AB = 2\sqrt 5 \).
Do đó \({T_{\max }} = 4\sqrt 5 \) khi và chỉ khi \(M\) là giao điểm của tia đối của tia \(BA\) với đường tròn \(\left( C \right)\).
Vậy \({a^2} + {b^2} = {4^2} + {5^2} = 41\).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời