Câu hỏi:
Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {z – 4 – i} \right| = \left| {z + i} \right|\). Gọi \(z = a + bi\left( {a;b \in \mathbb{R}} \right)\) là số phức thoả mãn \(\left| {z – 1 + 3i} \right|\) nhỏ nhất. Giá trị của biểu thức \(T = 2a + 3b\) là:
A. \(T = – 4\).
B. \(T = 4\).
C. \(T = 0\).
D. \(T = 1\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Đặt \(M\left( z \right);A\left( {4;1} \right);B\left( {0; – 1} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức\(z;4 + i; – i\). Khi đó từ giả thiết suy ra \(MA = MB\), tập hợp điểm biểu diễn của số phức \(z\) là đường trung trực \(\Delta \) của \(AB\). \(\Delta \) đi qua \(I\left( {2;0} \right)\) và có \(VTPT\)\(\overrightarrow n = \overrightarrow {AB} = \left( { – 4; – 2} \right)\)\( \Rightarrow \Delta :2x + y – 4 = 0\).
Gọi\(N\left( {1; – 3} \right)\) là điểm biểu diễn của số phức \(1 – 3i\).
Ta có: \(\left| {z – 1 + 3i} \right| = MN\). Do đó \(\left| {z – 1 + 3i} \right|\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MN\) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(N\) lên \(\Delta \).
Khi đó \(MN:x – 2y – 7 = 0\).
Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y – 4 = 0\\x – 2y – 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = – 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow M\left( {3; – 2} \right)\)\( \Rightarrow z = 3 – 2i\).
Vậy \(T = 2a + 3b = 6 – 6 = 0\).
=======
Lý thuyết
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Số phức \(z = a + bi\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b\) (\(a,b\in\mathbb\) và \(i^2=-1\)).
Số phức bằng nhau \(a + bi = c + di \Leftrightarrow\) \(a=c\) và \(b=d.\)
Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bới điểm \(M(a,b)\) trên mặt phẳng toạ độ.
Độ dài của vectơ OM là môđun của số phức \(z\), kí hiệu là \(\left| z \right| = \overrightarrow = \sqrt + } .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là \(a-bi\) kí hiệu là \(\overline z = a – bi.\)
Một số tính chất cần lưu ý của số phức
Mỗi số thực là số phức có phần ảo bằng 0. Ta có \(\mathbb\subset \mathbb.\)
Số phức \(bi\)(\(b\in\mathbb\)) được gọi là số thuần ảo (phần thực bằng 0).
Số \(i\) được gọi là đơn vị ảo.
Số phức viết dưới dạng \(z = a + bi(a,b\in\mathbb)\) gọi là dạng đại số của số phức.
Ta có:
\(\left| \right| = \left| z \right|\).
\(z = \overline z \Leftrightarrow z\) là số thực.
\(z = – \overline z \Leftrightarrow z\) là số ảo.
Trả lời