Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z – 4 – 3i} \right| = \sqrt 2 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\left| {z – 3i} \right|^2} + {\left| {z – 4 – i} \right|^2}\).
A. \(24 + 4\sqrt {10} \).
B. \(36\).
C. \(24 – 4\sqrt {10} \).
D. \(24 + 12\sqrt 2 \).
Lời giải
Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \(z = x + yi{\rm{,}}\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có: \(\left| {z – 4 – 3i} \right| = \sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {x + yi – 4 – 3i} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow {\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 2\)
Tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {4;3} \right)\), bán kính \(R = \sqrt 2 \).
Ta có: \(P = {\left| {z – 3i} \right|^2} + {\left| {z – 4 – i} \right|^2} = {\left| {z – 3i} \right|^2} + {\left| {z – \left( {4 + i} \right)} \right|^2} = {\left| {z – {z_1}} \right|^2} + {\left| {z – {z_2}} \right|^2} = M{A^2} + M{B^2}\)
Với \({z_1} = 3i\) được biểu diễn bởi điểm \(A\left( {0;3} \right)\), \({z_2} = 4 + i\) được biểu diễn bởi điểm \(B\left( {4;1} \right)\).
Gọi \(E\) là trung điểm của đoạn \(AB\). Khi đó ta có \(E\left( {2\,;\,2} \right),\,\,IE = \sqrt 5 \), \(AB = 2\sqrt 5 \) và \(M{E^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4}\).
Suy ra \(P = M{A^2} + M{B^2} = 2M{E^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} = 2M{E^2} + 10 \le 2{M_0}{E^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\). .
Ta có \(2{M_0}{E^2} = 2{\left( {IE + I{M_0}} \right)^2} = 2{\left( {\sqrt 5 + \sqrt 2 } \right)^2} = 14 + 4\sqrt {10} \), \(\frac{{A{B^2}}}{2} = 10\).
Suy ra \(P \le 14 + 4\sqrt {10} + 10 \Leftrightarrow P \le 24 + 4\sqrt {10} \).
Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \({P_{\max }} = 24 + 4\sqrt {10} \).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời