Câu hỏi:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\left( {1 + i} \right)z + 2} \right| + \left| {\left( {1 + i} \right)z – 2} \right| = 4\sqrt 2 \).
Gọi \(m = \max \left| z \right|,\,n = \min \left| z \right|\) và số phức \(v = m + ni\). Tính \({\left| v \right|^{2022}}\) ?
A. \({2^{1011}}\).
B. \({2^{2022}}\).
C. \({6^{1011}}\).
D. \({6^{2022}}\).
Lời giải
Ta có \(\left| {\left( {1 + i} \right)z + 2} \right| + \left| {\left( {1 + i} \right)z – 2} \right| = 4\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {z + 1 – i} \right| + \left| {z – 1 + i} \right| = 4\).
\(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\),
\({F_1}\left( { – 1,1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} = – 1 + i\).
\({F_2}\left( {1, – 1} \right)\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1} = 1 – i\).
Khi đó ta có \(M{F_1} + M{F_2} = 4\), tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \(z\) là elip nhận \({F_1}\), \({F_2}\) làm 2
tiêu điểm.
Ta có \({F_1}{F_2} = 2c \Leftrightarrow 2c = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow c = \sqrt 2 \).
Lại có: \(2{\rm{a}} = 4 \Leftrightarrow a = 2\).
Suy ra : \(b = \sqrt {{a^2} – {c^2}} = \sqrt {4 – 2} = \sqrt 2 \).
Elip có độ dài trục lớn là \({A_1}{A_2} = 4\), độ dài trục bé là \({B_1}{B_2} = 2\sqrt 2 \).
Mặt khác \(O\) là trung điểm \({A_1}{A_2},\,{B_1}{B_2}\) nên
\(m = \max \left| z \right| = O{A_1} = a = 2,\,\,n = \min \left| z \right| = O{B_1} = b = \sqrt 2 \).
Do đó \(v = m + ni = 2 + \sqrt 2 i \Rightarrow \left| v \right| = \sqrt 6 \Rightarrow {\left| v \right|^{2022}} = {6^{1011}}\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời