DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\frac{{ – 2 + 5i}}{z} + 3 + 3i = \left| z \right|\left( {1 – 2i} \right)\). Tính môđun của \(z\).
A.\(\left| z \right| = 1\).
B. \(\left| z \right| = 2\).
C. \(\left| z \right| = 3\).
D. \(\left| z \right| = 4\).
LỜI GIẢI CHI TIẾT
Điều kiện: \(z \ne 0\).
Khi đó: \(\frac{{ – 2 + 5i}}{z} + 3 + 3i = \left| z \right|\left( {1 – 2i} \right) \Leftrightarrow \left( { – 2 + 5i} \right) + \left( {3 + 3i} \right)z = z\left| z \right|\left( {1 – 2i} \right)\)
\( \Leftrightarrow z\left[ {3 + 3i – \left| z \right|\left( {1 – 2i} \right)} \right] = 2 – 5i \Rightarrow \left| z \right|\left| {\left( {3 – \left| z \right|} \right) + \left( {2\left| z \right| + 3} \right)i} \right| = \sqrt {29} \)
\( \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}\left[ {{{\left( {3 – \left| z \right|} \right)}^2} + {{\left( {2\left| z \right| + 3} \right)}^2}} \right] = 29 \Leftrightarrow {\left| z \right|^2}\left( {5{{\left| z \right|}^2} + 6\left| z \right| + 18} \right) = 29\begin{array}{*{20}{c}}{}\\{}\end{array}\left( * \right)\).
Đặt, \(t = \left| z \right|,t > 0.\)
Từ \(\left( * \right)\) suy ra \({t^2}\left( {5{t^2} + 6t + 18} \right) = 29 \Leftrightarrow 5{t^4} + 6{t^3} + 18{t^2} – 29 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {t – 1} \right)\left( {5{t^3} + 11{t^2} + 29t + 29} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1\).
Vậy \(\left| z \right| = 1\).
Trả lời