Cho số phức \(z\) thỏa mãn đồng thời hai điều kiện \(\left| {z – 2 + 3i} \right| = 2\sqrt 2 \) và biểu thức\(T = \left| {z + 7 + 2i} \right| + \left| {z – 1 – 6i} \right|\) đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị biểu thức \(S = \left| {z – \left( {2021 – 2022i} \right)} \right|\).
A. \(S = 2023\sqrt 2 \).
B. \(S = 2022\sqrt 2 \).
C. \(S = 2018\sqrt 2 \).
D. \(S = 2017\sqrt 2 \).
Lời giải
*Gọi \(M\) là điểm biểu diễn cho số phức \(z\). Từ giả thiết \(\left| {z – 2 + 3i} \right| = 2\sqrt 2 \)ta suy ra \(M\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( {2; – 3} \right)\), bán kính \(R = 2\sqrt 2 \).
*Xét hai điểm \(P\left( { – 7; – 2} \right)\), \(Q\left( {1;6} \right)\), ta thấy \(IP = IQ = \sqrt {82} > R\) nên hai điểm \(P,Q\) nằm ngoài đường tròn \(\left( C \right)\) và điểm \(I\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(PQ\). Gọi \(J\left( { – 3;2} \right)\) là trung điểm của \(PQ\). Theo giả thiết ta có \(T = MP + MQ \le \sqrt {2\left( {M{P^2} + M{Q^2}} \right)} = \sqrt {2\left( {2M{J^2} + \frac{{P{Q^2}}}{2}} \right)} \).
Ta thấy biểu thức \(T\) đạt giá trị lớn nhất khi \(MP = MQ\) và \(MJ\) lớn nhất, điều này xảy ra khi\(M \equiv {M_{\rm{o}}}\).
Ta có\(\frac{{{M_{\rm{o}}}I}}{{{M_{\rm{o}}}J}} = \frac{R}{{R + IJ}} = \frac{2}{7} \Leftrightarrow 7.\overrightarrow {{M_{\rm{o}}}I} – 2.\overrightarrow {{M_{\rm{o}}}J} = \overrightarrow 0 \)\( \Rightarrow M\left( {4; – 5} \right)\).
*Vậy \(z = 4 – 5i\), suy ra \(\left| {z – \left( {2021 – 2022i} \right)} \right| = \left| { – 2017 + 2017i} \right| = 2017\sqrt 2 \).
==================== Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời