Câu hỏi:
Cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt 2 .\) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
\(T = \left| {z + i} \right| + \left| {z – 2 – i} \right|.\)
A. \(\max T = 8\sqrt 2 .\)
B. \(\max T = 4.\)
C. \(\max T = 2\sqrt 2 .\)
D. \(\max T = 8.\)
Lời giải
Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).
Ta có \(\left| {z – 1} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {x – 1 + yi} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt 2 \)
\( \Leftrightarrow {\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} – 2x + 1 + {y^2} = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 2x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\)
Lại có:
\(T = \left| {z + i} \right| + \left| {z – 2 – i} \right| = \left| {x + \left( {y + 1} \right)i} \right| + \left| {x – 2 + \left( {y – 1} \right)i} \right|\)\( = \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {x – 2} \right)}^2} + {{\left( {y – 1} \right)}^2}} = \sqrt {{x^2} + {y^2} + 2y + 1} + \sqrt {{x^2} + {y^2} – 4x – 2y + 5} \)
Kết hợp với \(\left( * \right)\), ta được \(T = \sqrt {2x + 2y + 2} + \sqrt {6 – 2x – 2y} = \sqrt {2\left( {x + y} \right) + 2} + \sqrt {6 – 2\left( {x + y} \right)} \)
Đặt \(t = x + y\), khi đó \(T = f\left( t \right) = \sqrt {2t + 2} + \sqrt {6 – 2t} \) với \(t \in \left[ { – \,1;3} \right]\).
Ta có \(f’\left( t \right) = \frac{1}{{\sqrt {2t + 2} }} – \frac{1}{{\sqrt {6 – 2t} }},\)\(\,f’\left( t \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {2t + 2} = \sqrt {6 – 2t} \)\( \Leftrightarrow 2t + 2 = 6 – 2t\)\( \Leftrightarrow t = 1\).
\(f\left( { – 1} \right) = 2\sqrt 2 \), \(f\left( 1 \right) = 4\), \(f\left( 3 \right) = 2\sqrt 2 \)\( \Rightarrow \mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ { – 1;3} \right]} f\left( t \right) = f\left( 1 \right) = 4\) khi \(t = 1\).
====================
Thuộc chủ đề: Trắc nghiệm Cực trị Số phức
Trả lời